Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16№17№19№20.
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60^{\circ}.

Решение:

a) Согласно условию \angle 1=\angle 2  и  \angle 4=\angle 5 (см. рис.)

Так как AKCM – параллелограмм, то BC\parallel AD, а также  \angle 2=\angle 4 (противоположные углы равны) и  \angle 3=\angle 4 (соответственные углы при параллельных прямых AK,CM).

Короче говоря, \angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6.

Кроме того, KC=AM и AK=CM.

Треугольники ABK и CDM равны по II признаку. Тогда BK=MD.

Итак, AD=BC  и  AD\parallel BC (\angle 2=\angle 3), а значит ABCD – параллелограмм (по признаку параллелограмма).

б)

S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sinO,

где O – точка пересечения диагоналей ABCD.

Заметим, AB=BK=3,  AD=5.

Из \Delta ABO  по т. косинусов:

AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot cos60^{\circ};

9=AO^2+BO^2-AO\cdot BO      (1)

Из \Delta ADO  по т. косинусов:

AD^2=AO^2+OD^2-2AO\cdot OD\cdot cos120^{\circ};

25=AO^2+BO^2+AO\cdot BO     (2)

(2) – (1):  

16=2(AO\cdot BO)

откуда

 32=AC\cdot BD.

Итак, S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot \frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3.

Ответ: 8\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif