Главная › 14 (С3) Неравенства › №17 Тренировочной работы №84 А. Ларина

24 Сен 2014

Категория: 14 (С3) НеравенстваИррациональные выражения, уравнения и неравенстваТ/P A. Ларина

№17 Тренировочной работы №84 А. Ларина

Елена Репина 2014-09-24 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также задания №16, №18.

Решите неравенство:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}+\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^2-4(x-1)}}>2.$

Решение:

При возведении обеих частей неравенства в квадрат (а мы можем это сделать в силу положительности обеих частей), переходим к следующему равносильному неравенству:

$\frac{x-\sqrt{4(x-1)}+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}+x+\sqrt{4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4;$

$\frac{2x+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{x^2-4(x-1)}>4;$

Мы два корня «склеиваем» под один. При этом давайте обратим внимание на следующий момент: вообще говоря, «склеивая» под один два корня, мы должны бы указать, что хотя бы одно из подкоренных выражений неотрицательно. Но в данном случае, очевидно, $x\geq 1$ , поэтому $x+\sqrt{4(x-1)}\geq 0$ автоматически.

$\begin{cases} \frac{2x+2\sqrt{x^2-4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4, & &x\geq 1; \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{2x+2\sqrt{(x-2)^2}}{x^2-4x+4}>4, & &x\geq 1; \end{cases}$

Помним о том, что $\sqrt {a^2}=|a|:$

$\begin{cases} \frac{x+|x-2|}{x^2-4x+4}>2, & &x\geq 1; \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x+|x-2|-2(x-2)^2}{x^2-4x+4}>0,& &x\geq 1; \end{cases}$

или что тоже самое

$\begin{cases} x+|x-2|-2(x-2)^2}>0,& &x\neq 2,& &x\geq 1; \end{cases}$

Далее раскрываем модуль, следовательно появляется совокупность:

$\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &x+x-2-2(x-2)^2>0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &x-x+2-2(x-2)^2>0;\end{cases} \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &x^2-5x+5<0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &x^2-4x+3<0;\end{cases} \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &(x-\frac{5-\sqrt5}{2})(x-\frac{5+\sqrt5}{2})<0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &(x-1)(x-3)<0;\end{cases} \end{gathered}\right&$

Графическое решение первой системы совокупности:

Графическое решение второй системы совокупности:

Объединяем решения систем:

$x\in (1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).$

Ответ: $(1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Ольга

2014-11-09 в 15:54

Почему на интервале больше 2, берем для ответа от 5-корень из 5/2?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-11-09 в 20:05
  
  Не берем… Техническая ошибка.. ;) Спасибо!
  
  [ Ответить ]

№17 Тренировочной работы №84 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ