№17 Тренировочной работы №84 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также задания №16, №18.

Решите неравенство:

\frac{\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}+\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^2-4(x-1)}}>2.

Решение:

При возведении обеих частей неравенства в квадрат (а мы можем это сделать в силу положительности обеих частей), переходим к следующему равносильному неравенству:

\frac{x-\sqrt{4(x-1)}+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}+x+\sqrt{4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4;

Далее

\frac{2x+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{x^2-4(x-1)}>4;

Мы два корня «склеиваем» под один. При этом давайте обратим внимание на следующий момент: вообще говоря, «склеивая» под один два корня, мы должны бы указать, что хотя бы одно из подкоренных выражений неотрицательно. Но в данном случае, очевидно, x\geq 1, поэтому x+\sqrt{4(x-1)}\geq 0 автоматически.

\begin{cases} \frac{2x+2\sqrt{x^2-4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4, & &x\geq 1; \end{cases}

\begin{cases} \frac{2x+2\sqrt{(x-2)^2}}{x^2-4x+4}>4, & &x\geq 1; \end{cases}

Помним о том, что \sqrt {a^2}=|a|:

\begin{cases} \frac{x+|x-2|}{x^2-4x+4}>2, & &x\geq 1; \end{cases}

\begin{cases} \frac{x+|x-2|-2(x-2)^2}{x^2-4x+4}>0,& &x\geq 1; \end{cases}

или что тоже самое

\begin{cases} x+|x-2|-2(x-2)^2}>0,& &x\neq 2,& &x\geq 1; \end{cases}

Далее раскрываем модуль, следовательно появляется совокупность:

\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &x+x-2-2(x-2)^2>0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &x-x+2-2(x-2)^2>0;\end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &x^2-5x+5<0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &x^2-4x+3<0;\end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered}\begin{cases}x>2,& &(x-\frac{5-\sqrt5}{2})(x-\frac{5+\sqrt5}{2})<0;\end{cases}& \begin{cases}1\leq x<2,& &(x-1)(x-3)<0;\end{cases} \end{gathered}\right&

Графическое решение первой системы совокупности:

Графическое решение второй системы совокупности:

Объединяем решения систем:

x\in (1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).

Ответ: (1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Ольга

    Почему на интервале больше 2, берем для ответа от 5-корень из 5/2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не берем… Техническая ошибка.. ;) Спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif