Задание №17 Т/Р №203 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18  Тренировочной работы №203 А. Ларина.

17. В июне планируется взять кредит в банке на сумму $5$ млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по май каждого года необходимо выплачивать часть долга.
‐ в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила $3$ млн. рублей?

Решение:

Пусть кредит взят на $n$ лет.

После первого действия процентов в январе долг составит

$5+0,1\cdot 5$   млн. рублей.

Тогда первая выплата составит

$\frac{5}{n}+0,1\cdot 5$   млн. рублей.

Оставшийся долг после первой выплаты:

$(5+0,1\cdot 5)-(\frac{5}{n}+0,1\cdot 5)=5\cdot \frac{n-1}{n}$   млн. рублей.

После второго действия процентов в январе долг составит

$5\cdot \frac{n-1}{n}+0,1\cdot 5\cdot \frac{n-1}{n}$   млн. рублей.

Вторая выплата составит

$\frac{5}{n}+0,1\cdot 5\cdot \frac{n-1}{n}$   млн. рублей.

Оставшийся долг после второй выплаты:

$5\cdot \frac{n-2}{n}$   млн. рублей.

И так далее.

Все выплаты:

$n\cdot \frac{5}{n}+0,1\cdot 5\cdot (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{1}{n})$   млн. рублей.

Так как сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила $3$ млн. рублей, то

$n\cdot \frac{5}{n}+0,1\cdot 5\cdot (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{1}{n})=8;$

$5+0,1\cdot 5n\cdot (n+(n-1)+(n-2)+…+1)=8;$

$0,1\cdot 5n\cdot (\frac{n+1}{2}\cdot n)=3;$

$0,5\cdot \frac{n+1}{2}=3;$

$n=11.$

Ответ: $11.$