Задание №18 Т/Р №203 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17 Тренировочной работы №203 А. Ларина.

18. Найти все $a$, при каждом из которых уравнение $x-2=\frac{(a+1)(a-5)}{x+4}$

Решение:

Исходное уравнение равносильно уравнению

$(x-2)(x+4)=(a+1)(a-5)$ при условии $x\neq -4.$

График правой части уравнения  – семейство прямых, параллельных оси $(ox)$.

Пусть $(a+1)(a-5)=p.$

График левой части уравнения – парабола с вершиной $(-1;-9)$ с выколотой точкой $(-4;0).$

Нас интересует только та часть параболы, что попала в зону $(-\infty;0)$.

При $p\in ${$-9$}$\cup [-8;0)\cup (0;+\infty)$  мы видим ровно одно пересечение прямой $y=p$ и указанной ранее части параболы. Значит, исходное уравнение будет иметь один корень на промежутке $(-\infty;0)$.

Найдем $a,$ отвечающие за $p=-9:$

$(a+1)(a-5)=-9;$

$a^2-4a+4=0;$

$a=2.$

Найдем $a,$ отвечающие за $p=0:$

$(a+1)(a-5)=0;$

$a=-1$ или  $a=5.$

Найдем $a,$ отвечающие за $p\geq 8:$

$(a+1)(a-5)\geq -8;$

$a^2-4a+3\geq 0;$

$(a-3)(a-1)\geq 0;$

$a\in (-\infty;1]\cup [3;+\infty)$

Итак,

$a\in (-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup ${$2$}$\cup [3;5)\cup (5;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup ${$2$}$\cup [3;5)\cup (5;+\infty).$