Тренировочная работа №130 А. Ларина

Елена Репина 2015-11-12 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Найдите все корни уравнения $sin(2^x)=1,$ удовлетворяющие неравенству $|2^x-1|+|2^x-8|\leq 7.$

14. Все плоские углы при вершине $S$ пирамиды $SABC$ прямые.
а) Докажите, что точка $S$ , точка пересечения медиан треугольника $ABC$ и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.
б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду $SABC$ , если известно, что $SA=2,SB=3,SC=4.$

Решение: + показать

15. Решите неравенство $x^2+x\sqrt{3-3x^2}\geq 0,5+x.$

Решение: + показать

16. В равнобокой описанной трапеции $ABCD$ , где угол $B$ тупой, а $BC$ и $AD$ – основания, проведены:

1) биссектриса угла $B$ ;

2) высота из вершины $C$ ;

3) прямая, параллельная $AB$ и проходящая через середину отрезка $CD$ .
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции $ABCD$ , если известно, что $BC=8$ , $AD=18$ .

Решение: + показать

а) Пусть основание высоты трапеции, проведенной из точки $C$ к $AD$ – точка $H$ .

Соединим $H$ и $M$ ( $M$ – середина $CD$ ). Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, поэтому треугольник $HMD$ – равнобедренный.

Тогда $\angle MHD=\angle MDH$ , а так как трапеция $ABCD$ – равнобедренная ( $\angle CDA=\angle BAD$ ), то $\angle MHD=\angle BAD$ . Но $\angle MHD,\angle BAD$ – соответственные углы при прямых $AB,HM$ и секущей $AD$ . Тогда по признаку параллельности прямых $AB\parallel HM$ , то есть прямая, параллельная $AB$ и проходящая через середину отрезка $CD$ , прошла через точку $H$ .

Осталось доказать, что и биссектриса угла $B$ пройдет через точку $H$ .

Так как трапеция $ABCD$ – описанная около окружности, то $AB+CD=BC+AD$ или $2AB=2BC+2HD$ , откуда $AB=BC+HD$ или $AB=AH$ .

То есть треугольник $ABH$ – равнобедренный и $\angle ABH=\angle AHB$ . Но ведь $\angle CBH=\angle AHB$ (накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BH$ ). Тогда $\angle ABH=\angle CBH$ , то есть $BH$ – биссектриса угла $B$ .

Итак, биссектриса угла $B$ , высота из вершины $C$ , прямая, параллельная $AB$ и проходящая через середину отрезка $CD$ , пересекаются в одной точке (точке $H$ ).

Что и требовалось доказать.

б) Пусть центры вписанной, описанной окружностей – $O$ и $Q$ . Очевидно, указанные точки лежат на оси симметрии трапеции.

Пусть $R,r$ – радиусы описанной, вписанной окружностей. Пусть искомое расстояние $OQ$ – есть $x$ .

098

Несложно заметить, что, с одной стороны, $R^2=9^2+(r-x)^2$ , с другой стороны, $R^2=4^2+(r+x)^2.$

Поэтому $9^2+(r-x)^2=4^2+(r+x)^2,$ откуда $rx=\frac{65}{4}.$

При этом $r$ , половина высоты трапеции, есть $\frac{\sqrt{13^2-5^2}}{2}=6$ .

Итак, $x=\frac{65}{24}.$

Ответ: б) $\frac{65}{24}.$

17. Два человека, у которых имеется один велосипед, должны попасть из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км. Первый движется пешком со скоростью 4 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 30 км/ч. Второй движется пешком со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться из А в В?

(Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра)

Решение: + показать

18. Парабола $p_2$ симметрична параболе $p_1$ , заданной уравнением $y=ax^2 (a>0)$ , относительно точки $T(b;ab^2), b>0.$ Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: $p_1$ – в точке $A_1,$ $p_2$ – в точке $A_2$ так, что угол $A_1A_2T$ прямой. Касательная к параболе $p_1$ , проведенная в точке $T$ , пересекает прямую $A_1A_2$ в точке $K$ . Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $A_1A_2.$

Решение: + показать

Автор: egeMax | комментариев 6

Печать страницы

комментариев 6

Ирина

2015-11-13 в 22:35

Добрый вечер, Елена Юрьевна. В №17 второй случай. Мне кажется опечатка. Второе предложение начинается со слова “второй” и время первого пешком, мне кажется (40-30t)/4. Далее время в пути второго…, первого…. Спасибо.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-13 в 22:38
  
  Ирина, спасибо! Подправила. Нет бы Вася и Петя были в задаче, – а так обезличенные какие-то… Вот и запуталась в них… ;)
  
  [ Ответить ]
Мария

2015-11-19 в 14:54

Здравствуйте, почему в 16 задаче написано “Тогда коэффициент подобия треугольников SAO,OA_1M ” там, по-моему, должен быть треугольник МSA

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-19 в 14:59
  
  Потому что опечатка)) Спасибо, большое, Мария!
  Исправлено.
  
  [ Ответить ]
петя

2016-10-18 в 16:56

Здравствуйте! Не могли бы пояснить, откуда в 16 задании берется R^2=9^2+(r-x)^2 ? Заранее спасибо!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-10-18 в 19:41
  
  Из треугольника с гипотенузой AQ по теореме Пифагора.
  
  [ Ответить ]

Тренировочная работа №130 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ