Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Найдите все корни уравнения
удовлетворяющие неравенству 
Решение: + показать
14. Все плоские углы при вершине
пирамиды
прямые.
а) Докажите, что точка
, точка пересечения медиан треугольника
и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.
б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду
, если известно, что 
Решение: + показать
a) Центр описанной сферы около пирамиды обязан лежать на прямой, перпендикулярной плоскости
, проходящей через середину
, – именно такая прямая обладает тем свойством, что все ее точки равноудалены от
(учли, в частности, тот факт, что для прямоугольного треугольника середина гипотенузы – точка, равноудаленная от вершин). Назовем указанную прямую
.
Пусть прямые
(где
– точка пересечения медиан треугольника
) пересекаются в некоторой точке, назовем ее
. Заметим, прямые пересекутся – они лежат в одной плоскости (
, где
– середина 

Так как
– точка пересечения медиан треугольника
, то
Тогда коэффициент подобия треугольников
– 2. То есть 
Пусть
– середина
– середина 
Очевидно, 
Имеем:
– параллелограмм по признаку параллелограмма
(а точнее – прямоугольник).
Но тогда
, а поскольку
, то и
, в частности, 
Итак, треугольник
равнобедренный, так как медиана
в нем является и высотой. Но тогда
то есть
– центр описанной сферы около заданной пирамиды.
Итак, точка
, точка пересечения медиан треугольника
(точка
) и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы
), лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
б) Будем искать радиус
вписаной сферы по формуле
,
где
– объем пирамиды
,
– площадь полной поверхности пирамиды
.
(Доказательство формулы и задача на применение формулы – см. здесь)


Стороны треугольника
–
Будем искать
по формуле Герона:


Итак,
.
Ответ: 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать
В данном случае удобна замена
(или
). Действительно, видно, что
При этом весь отрезок
пробегает при ![Rendered by QuickLaTeX.com t\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5dd9ac814bbbb26bb39ec6942c8f8e6_l3.svg)
Получаем


Замечаем, на








Решаем методом интервалов.
Нули разности
отмечаем на тригонометрическом круге, причем нас интересует только отрезок
, проверяем и расставляем знаки указанной разности.

Итак, ![Rendered by QuickLaTeX.com t\in [-\frac{\pi}{2};-\frac{5\pi}{18}]\cup [\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{18}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9ed7c007e49edc1746c8709bc3a0b52_l3.svg)
Откуда ![Rendered by QuickLaTeX.com x\in [-1;-sin\frac{5\pi}{18}]\cup [\frac{1}{2};sin\frac{7\pi}{18}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48123504981602e3ebcaade05a4e6ce4_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com [-1;-sin\frac{5\pi}{18}]\cup [\frac{1}{2};sin\frac{7\pi}{18}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f6699b60e02deae922669cca10e44af_l3.svg)
16. В равнобокой описанной трапеции
, где угол
тупой, а
и
– основания, проведены:
1) биссектриса угла
;
2) высота из вершины
;
3) прямая, параллельная
и проходящая через середину отрезка
.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции
, если известно, что
,
.
Решение: + показать
а) Пусть основание высоты трапеции, проведенной из точки
к
– точка
.

Соединим
и
(
– середина
). Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, поэтому треугольник
– равнобедренный.
Тогда
, а так как трапеция
– равнобедренная (
), то
. Но
– соответственные углы при прямых
и секущей
. Тогда по признаку параллельности прямых
, то есть прямая, параллельная
и проходящая через середину отрезка
, прошла через точку
.
Осталось доказать, что и биссектриса угла
пройдет через точку
.
Так как трапеция
– описанная около окружности, то
или
, откуда
или
.
То есть треугольник
– равнобедренный и
. Но ведь
(накрест лежащие углы при
и секущей
). Тогда
, то есть
– биссектриса угла
.
Итак, биссектриса угла
, высота из вершины
, прямая, параллельная
и проходящая через середину отрезка
, пересекаются в одной точке (точке
).
Что и требовалось доказать.
б) Пусть центры вписанной, описанной окружностей –
и
. Очевидно, указанные точки лежат на оси симметрии трапеции.
Пусть
– радиусы описанной, вписанной окружностей. Пусть искомое расстояние
– есть
.

Несложно заметить, что, с одной стороны,
, с другой стороны, 
Поэтому
откуда 
При этом
, половина высоты трапеции, есть
.

Итак, 
Ответ: б) 
17. Два человека, у которых имеется один велосипед, должны попасть из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км. Первый движется пешком со скоростью 4 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 30 км/ч. Второй движется пешком со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться из А в В?
(Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра)
Решение: + показать
18. Парабола
симметрична параболе
, заданной уравнением
, относительно точки
Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке:
– в точке
– в точке
так, что угол
прямой. Касательная к параболе
, проведенная в точке
, пересекает прямую
в точке
. Найдите отношение, в котором точка
делит отрезок 
Решение: + показать
Очевидно, точка
принадлежит параболе
(а значит и
).
Составим уравнение параболы
.
Поскольку вершины парабол симметричны относительно точки
(а вершина
–
), то несложно заметить, что координаты вершины параболы
–
.
Тогда, очевидно,
задается следующим уравнением:


Какая прямая могла бы иметь с каждой параболой (
) только одну общую точку (
соответственно) и при этом
? Только прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не проходящая через 
В этом случае точки
симметричные точки параболы
. То есть 
Составим уравнение касательной к
через точку
.


Несложно заметить, что касательная к
через точку
и прямая
пересекаются в точке
. Но точка
– есть середина отрезка
. Действительно,
, а координаты середины отрезка – есть полусумма соответствующих координат концов отрезка, что выполняется в нашем случае.
Итак,
(точка пересечения какательной к
через
и прямой
) делит отрезок
в отношении 
Ответ:
.
Добрый вечер, Елена Юрьевна. В №17 второй случай. Мне кажется опечатка. Второе предложение начинается со слова “второй” и время первого пешком, мне кажется (40-30t)/4. Далее время в пути второго…, первого…. Спасибо.
Ирина, спасибо! Подправила. Нет бы Вася и Петя были в задаче, – а так обезличенные какие-то… Вот и запуталась в них… ;)
Здравствуйте, почему в 16 задаче написано “Тогда коэффициент подобия треугольников SAO,OA_1M ” там, по-моему, должен быть треугольник МSA
Потому что опечатка)) Спасибо, большое, Мария!
Исправлено.
Здравствуйте! Не могли бы пояснить, откуда в 16 задании берется R^2=9^2+(r-x)^2 ? Заранее спасибо!
Из треугольника с гипотенузой AQ по теореме Пифагора.