Задание №13 Т/Р №213 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

13. Дано уравнение $(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{1+2sinx}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}=8.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{9\pi}{2};6\pi]$.

Решение: 

а) 

$(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{1+2sinx}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}=8;$

$(\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{15}}})^{1+2sinx}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}=8.$

Домножим обе части равенства на положительную величину $(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}.$

 $((\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx})^2-8(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}+1=0.$

Наблюдаем квадратное уравнение относительно $(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}.$

$(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}=4\pm \sqrt{15};$

$(4+\sqrt{15})^{\frac{1+2sinx}{2}}=4\pm \sqrt{15};$

$\frac{1+2sinx}{2}=1$ или $\frac{1+2sinx}{2}=-1;$

$sinx=\frac{1}{2};$

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$  $n\in Z.$

б) Корень уравнения из отрезка $[\frac{9\pi}{2};6\pi]$:  $\frac{29\pi}{6}.$

Ответ:

а) $\frac{\pi}{6}+2\pi n,$  $\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$  $n\in Z;$

б) $\frac{29\pi}{6}.$