Задание №14 Т/Р №213 А. Ларина

2017-12-12

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра AB. На ребре SC взята точка M так, что SM:CM=1:3.

а) Докажите, что прямая MK пересекает высоту SO пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми MK и AC, если известно, что AB=6,SA=4.

Решение:

a) Так как пирамида SABC – правильная, то S  проецируется в центр O основания ABC (ABC – правильный треугольник), то есть в точку пересечения медиан (биссектрис, высот). KC – одна из медиан основания. Прямые KM,SO лежат в одной плоскости KCS. Пусть P – точка пересечения KM,SO.

Так как по условию SM:CM=1:3, то пусть SM=x,CM=3x.

По свойству медиана треугольника CO:OK=2:1. Проведем через точку O в плоскости KCS прямую OE, параллельную KM (E\in CS). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках CO:OK=CE:EM=2:1. Пусть CE=2k,EM=k.

Имеем: 3x=MC=ME+CE=k+2k=3k, то есть k=x и SM:ME=1:1. Но тогда и SP:PO=1:1 по теореме о пропорциональных отрезках.

Итак, прямая MK пересекает высоту SO пирамиды в её середине.

б) Пусть F – середина BC, тогда KF\parallel AC.

Расстояние между прямыми MK и AC – расстояние от любой точки прямой AC (например, от A) до плоскости KFM, параллельной AC.

Несложно рассчитать высоту пирамиды – SO=\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2}=2.

Введем систему координат  (xyz)  (O – начало координат) так, как показано на рисунке:

Расстояние  \rho от точки A до плоскости KFM (или KPF) будем вычислять по формуле

\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

где (x_0;y_0;z_0) – координаты точки A, плоскость KPF задается уравнением Ax+By+Cz+D=0.

Перечислим координаты необходимых для решения точек:

P(0;0;1),K(0;-\sqrt3;0), F(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt3}{2};0),A(3;-\sqrt3;0).

Составим уравнение плоскости KPF. Для чего подставляем поочередно координаты точек P(0;0;1),K(0;-\sqrt3;0), F(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt3}{2};0) в уравнение ax+by+cz+d=0.

\begin{cases} c+d=0,& &-\sqrt3b+d=0,& &-\frac{3}{2}a+\frac{\sqrt3}{2}b+d=0;& \end{cases}

\begin{cases} c=-d,& &b=\frac{\sqrt3d}{3},& &a=d.& \end{cases}

Итак, уравнение плоскости KPF:

d\cdot x+\frac{\sqrt3d}{3}-dz+d=0;

3x+\sqrt3y-3z+3=0;

где A=3,B=\sqrt3,C=-3.

Наконец,

\rho=\frac{|3\cdot 3+\sqrt3\cdot (-\sqrt3)-3|}{\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2+(-3)^2}}=\frac{9}{\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}.

Ответ: б) \frac{3\sqrt{21}}{7}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif