Задание №14 Т/Р №213 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-30 2017-12-12

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $K$ – середина ребра $AB$ . На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:CM=1:3.$

а) Докажите, что прямая $MK$ пересекает высоту $SO$ пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми $MK$ и $AC$ , если известно, что $AB=6,SA=4.$

Решение:

a) Так как пирамида $SABC$ – правильная, то $S$ проецируется в центр $O$ основания $ABC$ ( $ABC$ – правильный треугольник), то есть в точку пересечения медиан (биссектрис, высот). $KC$ – одна из медиан основания. Прямые $KM,SO$ лежат в одной плоскости $KCS.$ Пусть $P$ – точка пересечения $KM,SO.$

Так как по условию $SM:CM=1:3,$ то пусть $SM=x,CM=3x.$

По свойству медиана треугольника $CO:OK=2:1.$ Проведем через точку $O$ в плоскости $KCS$ прямую $OE,$ параллельную $KM$ ( $E\in CS$ ). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках $CO:OK=CE:EM=2:1.$ Пусть $CE=2k,EM=k.$

Имеем: $3x=MC=ME+CE=k+2k=3k,$ то есть $k=x$ и $SM:ME=1:1.$ Но тогда и $SP:PO=1:1$ по теореме о пропорциональных отрезках.

Итак, прямая $MK$ пересекает высоту $SO$ пирамиды в её середине.

б) Пусть $F$ – середина $BC,$ тогда $KF\parallel AC.$

Расстояние между прямыми $MK$ и $AC$ – расстояние от любой точки прямой $AC$ (например, от $A$ ) до плоскости $KFM$ , параллельной $AC.$

Несложно рассчитать высоту пирамиды – $SO=\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2}=2.$

Введем систему координат $(xyz)$ ( $O$ – начало координат) так, как показано на рисунке:

Расстояние $\rho$ от точки $A$ до плоскости $KFM$ (или $KPF$ ) будем вычислять по формуле

$\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $A$ , плоскость $KPF$ задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Перечислим координаты необходимых для решения точек:

$P(0;0;1),K(0;-\sqrt3;0), F(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt3}{2};0),A(3;-\sqrt3;0).$

Составим уравнение плоскости $KPF$ . Для чего подставляем поочередно координаты точек $P(0;0;1),K(0;-\sqrt3;0), F(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt3}{2};0)$ в уравнение $ax+by+cz+d=0.$