Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.
14. В правильной треугольной пирамиде точка
– середина ребра
. На ребре
взята точка
так, что
а) Докажите, что прямая пересекает высоту
пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если известно, что
Решение:
a) Так как пирамида – правильная, то
проецируется в центр
основания
(
– правильный треугольник), то есть в точку пересечения медиан (биссектрис, высот).
– одна из медиан основания. Прямые
лежат в одной плоскости
Пусть
– точка пересечения
Так как по условию то пусть
По свойству медиана треугольника Проведем через точку
в плоскости
прямую
параллельную
(
). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
Пусть
Имеем: то есть
и
Но тогда и
по теореме о пропорциональных отрезках.
Итак, прямая пересекает высоту
пирамиды в её середине.
б) Пусть – середина
тогда
Расстояние между прямыми и
– расстояние от любой точки прямой
(например, от
) до плоскости
, параллельной
Несложно рассчитать высоту пирамиды –
Введем систему координат (
– начало координат) так, как показано на рисунке:
Расстояние от точки
до плоскости
(или
) будем вычислять по формуле
где – координаты точки
, плоскость
задается уравнением
Перечислим координаты необходимых для решения точек:
Составим уравнение плоскости . Для чего подставляем поочередно координаты точек
в уравнение
Итак, уравнение плоскости :
где
Наконец,
Ответ: б)
Добавить комментарий