Вектора на плоскости. Часть 2

2014-08-20

Координаты вектора

Пусть  вектор \vec{a} имеет началом точку A_1(x_1;y_1), а концом – точку A_2(x_2;y_2). Координатами вектора \vec{a} называются числа a_1=x_2-x_1,\;a_2=y_2-y_1. Обозначают так: \vec{a}(a_1;a_2).

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Длина вектора  (или абсолютная величина вектора) \vec{a}(a_1;a_2) выражается формулой

|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

И наоборот. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

 

Суммой векторов \vec{a}(a_1;a_2) и \vec{b}(b_1;b_2) называется вектор \vec{c} с координатами (a_1+b_1,\;a_2+b_2).

Умножение вектора на число

 

Произведением вектора (\vec{a_1;a_2}) на число \lambda называется вектор \vec{(\lambda a_1;\lambda  a_2)}, то есть

\lambda \vec{(a_1;a_2)}=\vec{(\lambda a_1;\lambda  a_2)}

Коллинеарные вектора

 

Пусть \vec{a}  и \vec{b} – отличные от нуля коллинеарные векторы. Тогда существует число \lambda такое, что

\vec{b}=\lambda \vec{a}

Угол между векторами

 

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами \vec{a}  и \vec{b}  называется угол между равными им векторами с общим началом (наименьший угол).

Угол между двумя векторами находится в промежутке [0^{\circ};180^{\circ}].

Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

 

Скалярное произведение векторов

 

I. Скалярным произведением векторов \vec{a}(a_1;a_2) и \vec{b}(b_1;b_2) называется число a_1b_1+a_2b_2, то есть

\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2

II. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть

\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\angle (\vec{a};\vec{b})

Следовательно, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное.

Из формул  I и  II  скалярного произведения вытекает, что угол между векторами можно найти, используя формулу:

cos\angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}

Также, следствием, например, формулы II скалярного произведения есть следующий важный момент:

\vec{a}^2=|\vec{a}|^2

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Анатолий

    что касается этой темы, я поймал себя на мысли что изучил её, но через неделю всё напрочь забыл, ибо вообще ничего не понял, а без понимания не возможно запомнить…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      «без понимания невозможно запомнить…»
      Истину глаголишь!
      Закрепляем изученный материал решением задач: 1, 2

      [ Ответить ]
      • Анатолий

        обязательно :) вернусь к этим темам когда дойду до 15, а затем уже и часть С начну осваивать… ;)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Правильно!

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif