Вектора на плоскости. Часть 2

Координаты вектора

Пусть  вектор  имеет началом точку $A_(x_1;y_1)$, а концом – точку $B(x_2;y_2)$. Координатами вектора $\vec{AB}$ называются числа $a_1=x_2-x_1,\;a_2=y_2-y_1$. Обозначают так: $\vec{AB}(a_1;a_2).$

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Длина вектора  (или абсолютная величина вектора) $\vec{a}(a_1;a_2)$ выражается формулой

$\color{red}|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

И наоборот. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов $\vec{a}(a_1;a_2)$ и $\vec{b}(b_1;b_2)$ называется вектор $\vec{c}$ с координатами $(a_1+b_1,\;a_2+b_2).$

Умножение вектора на число

Произведением вектора $(\vec{a_1;a_2})$ на число $\lambda$ называется вектор $\vec{(\lambda a_1;\lambda  a_2)}$, то есть

$\color{red}\lambda \vec{(a_1;a_2)}=\vec{(\lambda a_1;\lambda  a_2)}$

Коллинеарные вектора

Пусть $\vec{a}$  и $\vec{b}$ – отличные от нуля коллинеарные векторы. Тогда существует число $\lambda$ такое, что

$\color{red}\vec{b}=\lambda \vec{a}$

Угол между векторами

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$  и $\vec{b}$  называется угол между равными им векторами с общим началом (наименьший угол).

Угол между двумя векторами находится в промежутке $[0^{\circ};180^{\circ}]$.

Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Скалярное произведение векторов

I. Скалярным произведением векторов $\vec{a}(a_1;a_2)$ и $\vec{b}(b_1;b_2)$ называется число $a_1b_1+a_2b_2$, то есть

$\color{red}\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

II. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть

$\color{red}\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\angle (\vec{a};\vec{b})$

Следовательно, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное.

Из формул  I и  II  скалярного произведениявытекает, что угол между векторами можно найти, используя формулу:

$\color{red}cos\angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

Также, следствием, например, формулы II скалярного произведения есть следующий важный момент:

$\color{red}\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$