Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем

2013-09-30

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа x  (обозначается как |x|)— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  x.

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, |5|=5, так как 5\geq0, попадаем в первую строку (ситуацию)

|-4|=-(-4)=4, так как -4<0, попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения, |a|  – есть расстояние между числом  a и началом координат.

Решением уравнения, например, |x|=6  являются числа 6 и -6, потому что расстояние от точки 6 координатной прямой до нуля равно 6, и расстояние от точки  -6 до нуля также равно 6.

|a-b| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками a и b.

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль: |\pi-3|

Так как \pi=3,1415926... больше, чем 3, то \pi-3>0, а значит |\pi-3|=\pi-3 согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль: |x^4+1|

Так как x^4+1 больше нуля при всех значениях x, то |x^4+1|=x^4+1 согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль: |2-\sqrt5|

Так как \sqrt5>\sqrt4=2, то 2-\sqrt5<0, а значит, |2-\sqrt5|=\sqrt5-2 согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение |x^2-4x+3|=-2.

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { \varnothing }

2) Решить уравнение: |x|=x.

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  x\geq 0.

Ответ: [0;+\infty).

3) Решить уравнение: |x-2|=|2-x|.

Согласно геометрическому смыслу модуля |a-b| левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ: (-\infty;+\infty).

4)  Решить уравнение: x|x|+8x-7=0.

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) x\geq 0

Имеем: x\cdot x+8x-7=0,     x^2+8x-7=0

Откуда x=-4\pm \sqrt{23}.

Поскольку мы находимся в ситуации x\geq 0, то подходит только корень x=-4+\sqrt{23}.

б) x<0

Имеем: x\cdot(-x)+8x-7=0,    -x^2+8x-7=0

Откуда x=7 или x=1.

Поскольку мы находимся в ситуации x<0, то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: -4+\sqrt{23}.

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение: x^2-2|x-1|=2.

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

\begin{cases} x-1\geq 0,& &x^2-2(x-1)=2; \end{cases}

\begin{cases} x\geq 1,& &x^2-2x=0; \end{cases}

\begin{cases} x\geq 1,& &x=0,\;x=2; \end{cases}

Что равносильно x=2.

б) Второй случай:

\begin{cases} x-1<0,& &x^2-2(1-x)=2; \end{cases}

\begin{cases} x<1,& &x^2+2x-4=0; \end{cases}

\begin{cases} x<1,& &x=-1\pm\sqrt5; \end{cases}

Что равносильно x=-1-\sqrt5

Ответ: 2;\;-1-\sqrt5

6) Решить уравнение: |x^2+5x+6|=2.

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля |...| может «скрываться» как 2, так и -2.

Поэтому x^2+5x+6=2 или x^2+5x+6=-2

x^2+5x+4=0 или x^2+5x+8=0

Из первого уравнения x=-4 или x=-1, а второе уравнение корней не имеет.

Ответ: -4;\;-1.

 

7) Решить уравнение: |x^3-x|=x+4.

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

\begin{cases} x^3-x\geq 0,& &x^3-x=x+4;& \end{cases}

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

x^3-x\geq 0

x(x^2-1)\geq 0

x(x-1)(x+1)\geq 0

Рассмотрим уравнение из системы:

x^3-x=x+4 или x^3-2x-4=0

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

x^3-4x+2x-4=0

x(x^2-4)+2(x-2)=0

x(x-2)(x+2)+2(x-2)=0

(x-2)(x(x+2)+2)=0

(x-2)(x^2+2x+4)=0

Откуда x=2 (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

\begin{cases} x^3-x< 0,& &-x^3+x=x+4;& \end{cases}

\begin{cases} x^3-x< 0,& &x=-\sqrt[3]4;& \end{cases}

Решение неравенства системы:

Корень x=-\sqrt[3]4 удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ: 2;\;-\sqrt[3]4

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Илья

    Почему в уравнении 4 б сохраняется знак + перед 8x, ведь x отрицательный?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы раскрываем МОДУЛЬ!!!

      [ Ответить ]
      • Илья

        Понял, дурак)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          ;)

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif