Главная › Модуль › Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем

18 Июн 2013

Категория: МодульСправочные материалы

Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем

Елена Репина 2013-06-18 2019-08-07

Определение. Геометрический смысл

Модуль (или абсолютная величина) числа $x$ (обозначается как $|x|$ )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа $x.$

А именно:

Снимок экрана 2013-06-18 в 10.30.40

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, $|5|=5,$ так как $5\geq0$ , попадаем в первую строку (ситуацию).

$|-4|=-(-4)=4,$ так как $-4<0,$ попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения, $|x|$ – есть расстояние между числом $x$ и началом координат.

Решением уравнения, например, $|x|=6$ являются числа $6$ и $-6$ , потому что расстояние от точки $6$ координатной прямой до нуля равно $6$ , и расстояние от точки $-6$ до нуля также равно 6.

модуль числа

| $a-b$ | с геометрической точки зрения означает расстояние между точками $a$ и $b$ .

геометрический смысл модуля

Полезные примеры

1) Раскрыть модуль: $|\pi-3|$

Так как $\pi=3,1415926...$ больше, чем $3$ , то $\pi-3>0$ , а значит $|\pi-3|=\pi-3$ согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль: $|x^4+1|$

Так как $x^4+1$ больше нуля при всех значениях $x$ , то $|x^4+1|=x^4+1$ согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль: $|2-\sqrt5|$

Так как $\sqrt5>\sqrt4=2$ , то $2-\sqrt5<0$ , а значит, $|2-\sqrt5|=\sqrt5-2$ согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

1) Решить уравнение $|x^2-4x+3|=-2$ .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { $\varnothing$ }

2) Решить уравнение: $|x|=x$ .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда $x\geq 0$ .

Ответ: $[0;+\infty).$

3) Решить уравнение: $|x-2|=|2-x|.$

Согласно геометрическому смыслу модуля $|a-b|$ левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ: $(-\infty;+\infty).$

4) Решить уравнение: $x|x|+8x-7=0.$

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) $x\geq 0$

Имеем: $x\cdot x+8x-7=0$ , $x^2+8x-7=0$

Откуда $x=-4\pm \sqrt{23}$ .

Поскольку мы находимся в ситуации $x\geq 0$ , то подходит только корень $x=-4+\sqrt{23}$ .

б) $x<0$

Имеем: $x\cdot(-x)+8x-7=0$ , $-x^2+8x-7=0$

Откуда $x=7$ или $x=1$ .

Поскольку мы находимся в ситуации $x<0$ , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: $-4+\sqrt{23}$ .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение: $x^2-2|x-1|=2.$

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

$\begin{cases} x-1\geq 0,& &x^2-2(x-1)=2; \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq 1,& &x^2-2x=0; \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq 1,& &x=0,\;x=2; \end{cases}$

Что равносильно $x=2$ .

б) Второй случай:

$\begin{cases} x-1<0,& &x^2-2(1-x)=2; \end{cases}$

$\begin{cases} x<1,& &x^2+2x-4=0; \end{cases}$

$\begin{cases} x<1,& &x=-1\pm\sqrt5; \end{cases}$

Что равносильно $x=-1-\sqrt5$

Ответ: $2;\;-1-\sqrt5$

6) Решить уравнение: $|x^2+5x+6|=2.$

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля $|...|$ может «скрываться» как $2,$ так и $-2$ .

Поэтому $x^2+5x+6=2$ или $x^2+5x+6=-2$

$x^2+5x+4=0$ или $x^2+5x+8=0$

Из первого уравнения $x=-4$ или $x=-1$ , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ: $-4;\;-1.$

7) Решить уравнение: $|x^3-x|=x+4.$

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

$\begin{cases} x^3-x\geq 0,& &x^3-x=x+4;& \end{cases}$

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

$x^3-x\geq 0$

$x(x^2-1)\geq 0$

$x(x-1)(x+1)\geq 0$

Снимок экрана 2013-06-18 в 18.26.31 Рассмотрим уравнение из системы:

$x^3-x=x+4$ или $x^3-2x-4=0$

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

$x^3-4x+2x-4=0$

$x(x^2-4)+2(x-2)=0$

$x(x-2)(x+2)+2(x-2)=0$

$(x-2)(x(x+2)+2)=0$

$(x-2)(x^2+2x+4)=0$

Откуда $x=2$ (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет в ответ.

б) Второй случай:

$\begin{cases} x^3-x< 0,& &-x^3+x=x+4;& \end{cases}$

$\begin{cases} x^3-x< 0,& &x=-\sqrt[3]4;& \end{cases}$

Решение неравенства системы:

Корень $x=-\sqrt[3]4$ удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ: $2;\;-\sqrt[3]4$

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Автор: egeMax | комментария 4

Печать страницы

комментария 4

Илья

2016-03-29 в 13:49

Почему в уравнении 4 б сохраняется знак + перед 8x, ведь x отрицательный?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-29 в 16:03
  
  Мы раскрываем МОДУЛЬ!!!
  
  [ Ответить ]
  - Илья
    
    2016-03-29 в 16:05
    
    Понял, дурак)
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-03-29 в 16:10
      
      ;)
      
      [ Ответить ]

Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем

Определение. Геометрический смысл

Полезные примеры

Решение уравнений

Добавить комментарий Отменить ответ