Определение. Геометрический смысл
Модуль (или абсолютная величина) числа
(обозначается как
)— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа
А именно:
Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.
Например, так как
, попадаем в первую строку (ситуацию).
так как
попадаем во вторую ситуацию.
С геометрической точки зрения, – есть расстояние между числом
и началом координат.
Решением уравнения, например, являются числа
и
, потому что расстояние от точки
координатной прямой до нуля равно
, и расстояние от точки
до нуля также равно 6.
|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками
и
.
Полезные примеры
1) Раскрыть модуль:
Так как больше, чем
, то
, а значит
согласно правилу раскрытия модуля.
2) Раскрыть модуль:
Так как больше нуля при всех значениях
, то
согласно правилу раскрытия модуля.
3) Раскрыть модуль:
Так как , то
, а значит,
согласно правилу раскрытия модуля.
Решение уравнений
1) Решить уравнение .
Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.
Ответ: { }
2) Решить уравнение: .
Модуль раскрывается таким образом в случае, когда .
Ответ:
3) Решить уравнение:
Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.
Ответ:
4) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
а)
Имеем: ,
Откуда .
Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень
.
б)
Имеем: ,
Откуда или
.
Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.
Ответ: .
Коротко можно было бы решение оформить так:
5) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
a) Первый случай:
Что равносильно .
б) Второй случай:
Что равносильно
Ответ:
6) Решить уравнение:
Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:
Внутри модуля может «скрываться» как
так и
.
Поэтому или
или
Из первого уравнения или
, а второе уравнение корней не имеет.
Ответ:
7) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
а) Первый случай:
Рассмотрим отдельно первую строку системы:
Рассмотрим уравнение из системы:
или
Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:
Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).
Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет в ответ.
б) Второй случай:
Решение неравенства системы:
Корень удовлетворяет решению неравенства системы.
Собираем решения.
Ответ:
Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.
Вы можете пройти тест по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»
Почему в уравнении 4 б сохраняется знак + перед 8x, ведь x отрицательный?
Мы раскрываем МОДУЛЬ!!!
Понял, дурак)
;)