Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Свойства вписанных углов
Рассмотрим примеры, после чего для вас – тест по теме “Вписанные, центральные углы”.
Задача 1.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 
окружности.
Решение: + показать
Окружность составляет 
, поэтому дуга АС, которая составляет 
. Поэтому вписанный угол АВС равен 
, так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры дуги, на которую опирается.
Задача 2.
Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен 
Решение: + показать
Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу 
. Значит дуга АВС равна 
. А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен Задача 3.
Найти величину угла ВАD, изображенного на картинке:
Решение: + показать
Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть 
.
.
Задача 4.
Найти величину угла D, изображенного на картинке:
Решение: + показать
как вертикальные.
, так как углы опираются на одну дугу.
Задача 5.
Центральный угол на 
больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Решение: + показать
Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда 
, откуда 
Задача 6.
Найти градусную меру угла ВАD:
Решение: + показать
, следовательно 
как дуга вписанного угла. Аналогично, 
, следовательно 
. Тогда 
. А так как 
(AD – диаметр), то 
. А значит, 
.
Задача 7.
Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 
и 
.
Решение: + показать
, так как опирается на дугу ВА. А значит,
, так как является смежным с 
.
, так как опирается на дугу DE.
.
Задача 8.
Найдите величину угла АВС.
Решение: + показать
– центральный для вписанного угла 
. Угол же АОС равен 
(например, потому, что для треугольника АОС выполняется теорема Пифагора (
, 
) ). Тогда 
.
Задача 9.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?
Решение: + показать
Так как хорда АС равна радиусу окружности, то треугольник АОС – равносторонний. А значит, 
. Тогда дуга АВС составляет 
. Стало быть, вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АС, равен 
Задача 10.
Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:
Решение: + показать
. 
опирается на дугу 
, составленную из трех дуг по 
), поэтому равен 
.
Задача 11.
Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке. Видео New*
Решение: + показать
Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется разделить результат на 2, – получим градусную меру угла АВС.
, так как напротив него лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть центральный угол АОС равен 
.Задача 12.
Четырёхугольник 
вписан в окружность. Угол 
равен 106°, угол 
равен 64°. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Вписанный угол равен половине дуги 
, на которую опирается.
Заметим при этом 
, аналогично 
Тогда 
Ответ: 42.
Вы можете пройти тест “Вписанные, центральные углы”. Тест хорош как для подготовки к ГИА, так и к ЕГЭ.
В задаче 11 заметила опечатку Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется умножить результат на 2, — получим градусную меру угла АВС. Наверное, надо не умножить . а разделить. И хотела поблагодарить Вас за такой сайт. Вы просто молодец. всё очень понятно и доступно.
Зарема, спасибо!
в задаче 11 на картинке угол АВС равен 106 , а в условии 104 .
Арина, спасибо! Исправлено.
В свойствах вписанных углов небольшая синтаксическая ошибка.
“Угол, опирающийся на диаметр – прямой”. (перед тире запятая не ставится).
Почему в 7-ой задаче \angle ADC=120^{\circ}, так как является смежным с \angle BDA. При этом \angle BDA=60^{\circ}, так как опирается на дугу ВА. Тогда разве угол ADC не должен быть равен 60 градусам?
Как же угол ADC будет равен 60°, если он смежен с углом в 60°?
Благодарю вас за такой сайт,очень мне помог, и сделайте пожайлуста ещё одну задачу :Вписанный угол ABC=58гр.Найти хорду на которую опирается этот угол(заранее спасибо)
Даниил, с условием не все в порядке. Не хватает данных. Или радиус должен быть известен или еще что…
В шестой задаче угол BAD разве не будет равен 65? Угол B прямой те опирается на диаметр
Д – 25
180 – 115= 65
Можно ли так?
Угол B не прямой, он не опирается на диаметр!