Теория вероятности. Часть 2

2014-12-23

Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет \frac{1}{3}, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Вероятность же  суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 

0,3+0,3-0,12=0,48;

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5,  – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

P(AB)=P(A)\cdot P(B)

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – \frac{1}{6}. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.

 

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Печать страницы
Комментариев: 20
  1. Ксения

    Объясните, пожалуйста, почему в примере с автоматами события рассматриваются как совместные, но вероятность их одновременного появления исключается (-0,12)? Разве условие “хотя бы” не предполагает возможности их одновременного возникновения? Насколько я понимаю, это равносильно логической операции ИЛИ в информатике (дизъюнкция), когда значение выражения истинно при наличии хотя бы одного истинного условия. В данном случае это условия “кофе закончится в 1-ом автомате” и “кофе закончится во 2-ом автомате”; и только при ложности обоих условий выражение станет ложным, то есть “кофе останется”. Или я не поняла условие задачи?

    [ Ответить ]
  2. Ксения

    Извините, теперь разобралась. Рассчитывала по неправильной формуле.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не успела я вам ответить, как вы уже разобрались! Ну и хорошо :D

      [ Ответить ]
  3. Софья

    Извините, а почему мы вычитаем в задаче про кофе вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах(0,12)? У нас же спрашивается вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (и случай “в обоих сразу” тоже сюда входит)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Софья, именно потому, что события совместные! По формуле.

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        по формуле то по формуле, но суть этой формулы мало кто понимает…

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Попробуйте представить два множества А и В, пересекающиеся. Теперь объедините их. Что будет объединением? Можно сказать, что это будет А + В минус (А/\В)

          [ Ответить ]
          • Анатолий Шевелев

            Вспомнил круги Эйлера, да это понятно :)

            [ Ответить ]
          • oleg

            Понятнее будет, если объяснить следующим образом. К вероятности наступления первого события, что один автомат не работает нужно прибавить вероятность не наступления первого события, умноженную на вероятность наступления второго события, т.е. А + (1-А) х В. Теперь в результате несложный манипуляций придем к той же формуле, что была изначально.

            [ Ответить ]
  4. Анатолий Шевелев

    Как я понял, задач на “Зависимые события” в ЕГЭ не будет? это довольно сложная темя даже для уровня СПО, не говоря уже о школьника ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Все, что разбирается в частях 1-2 (практическая часть), реально может встретиться на ЕГЭ. Задачи из “банки”.

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        до задач я ещё не дошел, просто вижу что в статье говорится только про Независимые события :)

        [ Ответить ]
  5. Анатолий Шевелев

    А вообще, спасибо за статью, всё доступно и понятно :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пользуйтесь пожалуйста!

      [ Ответить ]
  6. Полоскин Никита

    Здравствуйте. Спасибо за статью, все просто и понятно, но кое-что я все-таки не понял. В примере с автоматами вероятность двух событий, произошедших одновременно, равна 0,12, хотя, если вычислять по последней формуле, то вероятность, что эти события произойдут одновременно равна 0,3×0,3=0,09. Почему условие задачи неверно написано?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Никита, формула умножения вероятностей работает для независимых событий.
      В условии задачи все верно!

      [ Ответить ]
  7. Павел

    Как я понял, для теории вероятности можно и нужно использовать логические выражения? Или есть исключения?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вы имеете ввиду, например, формулу суммы вероятностей? Ну да… можно сказать.

      [ Ответить ]
      • Павел

        Я не про формулу, а про ***, а выражения принять как вероятности.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Я вам сказала – да.

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif