Теория вероятности. Часть 2

2014-12-23

Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет \frac{1}{3}, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Вероятность же  суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 

0,3+0,3-0,12=0,48;

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5,  – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

P(AB)=P(A)\cdot P(B)

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – \frac{1}{6}. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.

 

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Печать страницы
Комментариев: 41
  1. Ксения

    Объясните, пожалуйста, почему в примере с автоматами события рассматриваются как совместные, но вероятность их одновременного появления исключается (-0,12)? Разве условие “хотя бы” не предполагает возможности их одновременного возникновения? Насколько я понимаю, это равносильно логической операции ИЛИ в информатике (дизъюнкция), когда значение выражения истинно при наличии хотя бы одного истинного условия. В данном случае это условия “кофе закончится в 1-ом автомате” и “кофе закончится во 2-ом автомате”; и только при ложности обоих условий выражение станет ложным, то есть “кофе останется”. Или я не поняла условие задачи?

    [ Ответить ]
  2. Ксения

    Извините, теперь разобралась. Рассчитывала по неправильной формуле.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не успела я вам ответить, как вы уже разобрались! Ну и хорошо :D

      [ Ответить ]
  3. Софья

    Извините, а почему мы вычитаем в задаче про кофе вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах(0,12)? У нас же спрашивается вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (и случай “в обоих сразу” тоже сюда входит)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Софья, именно потому, что события совместные! По формуле.

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        по формуле то по формуле, но суть этой формулы мало кто понимает…

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Попробуйте представить два множества А и В, пересекающиеся. Теперь объедините их. Что будет объединением? Можно сказать, что это будет А + В минус (А/\В)

          [ Ответить ]
          • Анатолий Шевелев

            Вспомнил круги Эйлера, да это понятно :)

            [ Ответить ]
          • oleg

            Понятнее будет, если объяснить следующим образом. К вероятности наступления первого события, что один автомат не работает нужно прибавить вероятность не наступления первого события, умноженную на вероятность наступления второго события, т.е. А + (1-А) х В. Теперь в результате несложный манипуляций придем к той же формуле, что была изначально.

            [ Ответить ]
  4. Анатолий Шевелев

    Как я понял, задач на “Зависимые события” в ЕГЭ не будет? это довольно сложная темя даже для уровня СПО, не говоря уже о школьника ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Все, что разбирается в частях 1-2 (практическая часть), реально может встретиться на ЕГЭ. Задачи из “банки”.

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        до задач я ещё не дошел, просто вижу что в статье говорится только про Независимые события :)

        [ Ответить ]
  5. Анатолий Шевелев

    А вообще, спасибо за статью, всё доступно и понятно :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пользуйтесь пожалуйста!

      [ Ответить ]
  6. Полоскин Никита

    Здравствуйте. Спасибо за статью, все просто и понятно, но кое-что я все-таки не понял. В примере с автоматами вероятность двух событий, произошедших одновременно, равна 0,12, хотя, если вычислять по последней формуле, то вероятность, что эти события произойдут одновременно равна 0,3×0,3=0,09. Почему условие задачи неверно написано?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Никита, формула умножения вероятностей работает для независимых событий.
      В условии задачи все верно!

      [ Ответить ]
      • Иван

        Добрый день.
        Всё-таки объясните почему работа двух автоматов, которые не связаны ни электрически, ни каким-либо другим способом, зависит один от другого?
        Из-за того что написали в условии про вероятность у обоих быть без кофе?
        Но ведь это противоречит здравому смыслу? Они вообще могут стоять в разных концах ТЦ и поток посетителей к ним будет вообще независим. Т.е. логика, что если в одном кончится кофе, то посетители пойдут к другому – это не очевидно совсем.
        Мне кажется, что насильно вводить условие, что окончание кофе в одном автомате, приводит к изменению состояния другого – плохой пример. Либо тогда нужно в условии задачи прописывать что, автоматы стоя рядом, т.е. дублируют друг друга.
        Абсолютно зависимые или независимые событие встречаются в технике: при последовательном соединении в электрической цепи перегорание одного элемента – ведёт к разрыву всего участка.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Иван, если бы события были бы независимые, то при условии, что вероятность, что кофе закончится в одном автомате равна 0,3, – вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, была бы 0,09. Не так ли?
          Так как нам указана вероятность 0,16, мы и делаем вывод о зависимости событий. Детали (рядом ли стоят автоматы и т.п.) – за кадром…

          [ Ответить ]
          • Иван

            Да, спасибо за ответ, я про это и написал, что только из условия.
            Дело в том, что я боюсь дети, которые вообще не понимают откуда берётся вероятность (например из большого числа опытов, из набранной статистики) могут начать недоумевать по поводу как это может быть.
            Ведь не один я такие вопросы поднял.
            Вероятность и статистика – довольно специфический раздел математики, и чтобы в него въехать нужен особый поворот ума.
            Наиболее простым и внятным процессом на котором можно понять – это технологический процесс производства и т.д.
            А тут получается некоторое натаскивание – видишь совместную вероятность – используй такую формулу, зачастую даже непонятно почему.
            На практике убеждаюсь – 80% детей статистику просто напросто зазубривают на примерах без понимания. С элементарными вероятностями – ещё ничего, а дальше – труба.
            Спасибо за ответ.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, согласна, – с простой формулой вероятности справляются почти все, а вот дальше – беда…

            [ Ответить ]
          • Иван

            Немножко оффтоп.
            Вы случайно не в курсе, когда появилась в школьной программе вероятность?
            Я, закончил в 2001 г,ф-м-класс, так мы там про матрицы говорили, начала аналит.геометрии в пространстве – тоже были, первообразные, даже простейшие диффуры решали, но вот теовер – встретил на 1 курсе только.
            И ещё – все эти зубодробительные геометрические задачи второй части – вроде бы тоже недавнее нововведение? Я таких не помню в своё время. Просто один знакомый крутой математик, который напрямую не связан с ЕГЭ, говорит – я там одну задачу 2 часа думал как решить, очень уж специфические приёмы нужно применить.
            Так вот вопрос какой – насколько разумным является включение таких задач в ЕГЭ, ведь для их решения зачастую требуется знание какого-нить экзотического свойства, или теоремы, что не является напрямую проверкой умения рассуждать ученика. (Если только он это свойство сам не докажет или откроет), но это же уже уровень талантов?
            Просто интересуюсь вашим мнением.
            Спасибо.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Не могу точно сказать, когда появилась вероятность в школах. Оканчивала школу в 1995-м, у нас не было ее… В универе, хоть и был матфак, теорвер была лишь в зачатках.
            Насчет специфических приемов – да вроде экзотики в С4 особо не встречается… Только вокруг основных школьных теорем. Да, задачи не простые. Творческая жилка должна быть развита при решении таких задач однозначно.

            [ Ответить ]
  7. Павел

    Как я понял, для теории вероятности можно и нужно использовать логические выражения? Или есть исключения?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вы имеете ввиду, например, формулу суммы вероятностей? Ну да… можно сказать.

      [ Ответить ]
      • Павел

        Я не про формулу, а про ***, а выражения принять как вероятности.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Я вам сказала – да.

          [ Ответить ]
  8. Дмитрий

    Не совсем понятно. Допустим 10 независимых автоматов (в любом случае вероятность того, что кофе закончится во всех одновременно будет еще меньше). Тогда вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном > 1 ? В чем подвох?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Тогда вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном > 1
      Непонятна логика рассуждений… https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif

      [ Ответить ]
      • Дмитрий

        Для 10-ти независимых автоматов
        10 * 0.3 – 0.3 ^ 10
        Ведь так же? Где я ошибаюсь?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Дмитрий, откуда вы взяли 0,3^10?
          Возьмём хотя бы два автомата. Почему вы решили, что вероятность того, что кофе закончится в обоих – 0,3^2? В разобранном примере по условию Давалась вероятность того, что кофе кончится в обоих автоматах, и она не была 0,3^2, а была 0,12, что говорит о том, что события независимые и мы не можем вот так просто умножать 0,3 на 0,3.

          [ Ответить ]
          • Дмитрий

            Я про то что мы сложили 0.3 и 0.3? а что будет, если их будет 10? мы должны их сложить? будет 3 ? т.е. >1 ? или будет уже другая формула? мне все равно какая вероятность у пересечения, она все равно не значительная

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Почему вы решили, что p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(ABC)?
            Формула иная:
            p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)-p(ABC)
            А для четырех событий? А для пяти?..

            [ Ответить ]
          • Дмитрий

            Не увидел ответ ))

            [ Ответить ]
          • Дмитрий

            Все, я понял. Формула усложняется для трех и более событий.
            Я это имел в виду (это для трех):
            Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

            [ Ответить ]
          • Дмитрий

            Ссылки тут нельзя оставлять, но смысл формулы, что сами вероятности складываются, пересечения двух множеств вычитаются, затем трех складываются, четырех вычитаются и т.д. как-то так. Короче нам нужно каждую с каждой попересекать.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, все так))

            [ Ответить ]
  9. Ева

    Могут ли события быть одновременно несовместными и независимыми?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно.

      [ Ответить ]
      • Ева

        Если Вам не трудно,пожалуйста,помогите придумать способ,как доступно объяснить,чем несовместные события отличаются от независимых.Определения и формулы известны,но проблема в том,что трудно понять о каких событиях идет речь в задаче.
        Если можно,то на примерах.
        И,если они могут быть одновременно и теми и другими,то как определиться какую формулу применять.
        Заранее благодарю.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ева, в статье после определений совместных/несовместных и независимых событий приведены примеры. Почитайте.
          В задачах иногда в формулировке проговаривается независимость событий (например, задача 4, если идти по ссылке в конце статьи).
          Или нужно о ней догадаться косвенно (как, например, в задаче 3, если идти по ссылке в конце статьи). Раз вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3 а вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16 (а не 0,09!!!), то речь идет о зависимых событиях, вероятности которых не умножаются.

          [ Ответить ]
          • Ева

            Спасибо.

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif