Тренировочная работа №144 А. Ларина

Елена Репина 2016-02-18 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $(cos2x-1)^2=10sin^2x-4.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{6}].$

Решение: + показать

14. В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ( $P$ – вершина) точка $K$ – середина $AB$ , точка $M$ – середина $BC$ , точка $N$ лежит на ребре $AP$ , причем $AN:NP=1:3$ .

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N,K,M$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями $NKM$ и $ABC$ , если известно, что $AB=6,AP=8.$

Решение: + показать

15. Решите неравенство

$log_2(5-x)log_2(x+1)\leq log_2\frac{(x^2-4x-5)^2}{16}.$

Решение: + показать

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$ так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $K$ . Прямые $AB$ и $AC$ вторично пересекают меньшую окружность в точках $P$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что $PM\parallel BC$ .
б) Найдите площадь треугольника $ABC$ , если $PM=12,$ а радиус большей окружности равен $20$ .

Решение: + показать

а)

Пусть $O_1,O_2$ – центры большой и малой окружностей соответственно. Пусть прямая $AO_1$ вторично пересекает большую окружность в точке $T$ .

Углы $APM,O_1AM$ (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ}$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

Аналогично, углы $ABC, TAC$ (вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ}$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

Итак, углы $APM,ABC$ , одновременно большие (или меньшие) угла $CAT$ на $90^{\circ}$ , равны между собой. А поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых $PM,BC$ и секущей $AB$ , то $PM\parallel BC$ (по признаку параллельности прямых).

Что и требовалось доказать.

б)

В равнобедренном треугольнике $AO_1C$ высота $O_1M$ (а $\angle M=90^{\circ}$ , так как этот угол – вписанный, опирающийся на диаметр) окажется и медианой, то есть $AM=MC$ .

А это значит, что коэффициент подобия треугольников $APM,ABC$ – $2.$

Раз $PM=12,$ то $BC=24.$

Для нахождение площади треугольника $ABC$ остается найти высоту к стороне $BC$ .

Соответствующие высоты треугольников $APM,ABC$ , опущенные из вершины $A$ , отличаются в два раза.

Пусть $O_2K$ пересекается с $PM$ в точке $N$ . Раз угол $K$ – прямой, то и угол $N$ – прямой. То есть высота $O_2N$ в равнобедренном треугольнике $AO_2M$ – медиана. $AN=NM=6.$

Из треугольника $O_2NM$ по теореме Пифагора $NO_2=8.$ Стало быть, $NK=O_2K-NO_2=10-8=2.$

Пусть $h$ – высота треугольника $APM,$ проведенная к $PM$ .

Тогда высота треугольника $ABC,$ проведенная к $BC,$ равна $h+2.$

Но, как мы уже говорили, $(h+2):h=2,$ откуда $h=2$ и высота треугольника $ABC,$ проведенная к $BC,$ равна $4.$

Итак, $S_{ABC}=\frac{24\cdot 4}{2}=48.$

Ответ: б) $48.$

17. В мебельный магазин поступили столы и стулья. Количество столов составляет $42$ % от числа стульев. Когда было продано $78$ % столов и $62$ % стульев, то столов осталось менее $300$ штук, а стульев – более $200$ . Сколько столов и сколько стульев поступило в магазин?

Решение: + показать

18. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства $|x-a|+|x+3a|\geq x^2+a^2$ содержит ровно четыре целых значения $x$ .