Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{6}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93457caa57a17802df3aed186e0778f8_l3.svg)
Решение: + показать
a)








б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка
при помощи тригонометрического круга:

,
, 
Ответ:
;
; 
14. В правильной треугольной пирамиде
(
– вершина) точка
– середина
, точка
– середина
, точка
лежит на ребре
, причем
.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки
является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями
и
, если известно, что 
Решение: + показать
а) Заметим, прямая
параллельна плоскости
(так как
).
Плоскость
имеет общую точку с плоскостью
.
Тогда плоскости
пересекаются по прямой, параллельной
(по свойству прямой, параллельной плоскости, а именно – если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой).
Пусть точка пересечения прямой, по которой пересекаются плоскости
, с ребром
– точка
.
Прямая
параллельна
, а значит,
. Тогда треугольники
равны по
признаку равенства треугольников. Откуда
.
Итак,
и
. То есть четырехугольник
– равнобокая трапеция.

б) Пусть
– точка пересечения
и медианы
треугольника
, проведенной к
. Пусть
– точка пересечения
и
. Плоскости
пересекаются по прямой
.
Точка
проецируется в точку
(центр основания
) прямой
и 
Прямые
пересекаются в точке
.
Очевидно,
По теореме о трех перпендикулярах
.
Угол
– угол между плоскостями 
Угол
будем искать из треугольника
, для чего найдем все его стороны.
Очевидно,

Треугольники
подобны, коэффициент подобия – 
Тогда


Из треугольника
по теореме косинусов:



Из треугольника
по теореме косинусов:



Далее, несложно заметить, что
(где
).

По теореме Пифагора из треугольника 

При этом 
Наконец, из треугольника 



Итак, 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство

Решение: + показать







Согласно методу рационализации
при условии, что 
при условии, что 

![Rendered by QuickLaTeX.com x\in (-1;1]\cup [3;5).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b12255849d0ad2c155665bef6283eeeb_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com (-1;1]\cup [3;5).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42ae52ca85ca02a6a2cecef772a844cd_l3.svg)
16. Две окружности касаются внутренним образом в точке
так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
. Прямые
и
вторично пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что
.
б) Найдите площадь треугольника
, если
а радиус большей окружности равен
.
Решение: + показать
а)

Пусть
– центры большой и малой окружностей соответственно. Пусть прямая
вторично пересекает большую окружность в точке
.
Углы
(вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на
так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 
Аналогично, углы
(вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на
так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 
Итак, углы
, одновременно большие (или меньшие) угла
на
, равны между собой. А поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых
и секущей
, то
(по признаку параллельности прямых).
Что и требовалось доказать.
б)

В равнобедренном треугольнике
высота
(а
, так как этот угол – вписанный, опирающийся на диаметр) окажется и медианой, то есть
.
А это значит, что коэффициент подобия треугольников
– 
Раз
то 
Для нахождение площади треугольника
остается найти высоту к стороне
.
Соответствующие высоты треугольников
, опущенные из вершины
, отличаются в два раза.
Пусть
пересекается с
в точке
. Раз угол
– прямой, то и угол
– прямой. То есть высота
в равнобедренном треугольнике
– медиана. 
Из треугольника
по теореме Пифагора
Стало быть, 
Пусть
– высота треугольника
проведенная к
.
Тогда высота треугольника
проведенная к
равна 
Но, как мы уже говорили,
откуда
и высота треугольника
проведенная к
равна 
Итак, 
Ответ: б) 
17. В мебельный магазин поступили столы и стулья. Количество столов составляет
% от числа стульев. Когда было продано
% столов и
% стульев, то столов осталось менее
штук, а стульев – более
. Сколько столов и сколько стульев поступило в магазин?
Решение: + показать
Пусть в мебельный магазин поступило
(
) штук стульев.
Тогда согласно условию столов поступило в магазин
штук.
Когда было продано
% столов, их осталось менее
штук, поэтому

Когда было продано
% стульев, их осталось более
штук, поэтому

Итак, имеем:


Следует подобрать натуральное
из
при этом
и
– также натуральные числа.
Чтобы числа
были натуральными, необходимо, чтобы
было кратно
.
Чтобы число
было натуральным, необходимо, чтобы
было кратно
.
Итак,

– столько стульев поступило в магазин.
Тогда столов поступило

, то есть

Ответ: 
18. Найдите все значения
, при каждом из которых множество решений неравенства
содержит ровно четыре целых значения
.
Решение: + показать

Будем работать в системе координат 
Рассмотрим случаи:
I.
и 
II.
и 
III.
и 
IV.
и 
В первом случае исходное неравенство примет вид:


Берем внутреннюю область круга
(включая границу), попавшую в I область. Заметим, окружность
проходит через точки 
Во втором случае исходное неравенство примет вид:


Берем внутреннюю область круга
(включая границу), попавшую во II область. Заметим, окружность
проходит через точки 
В третьем случае исходное неравенство примет вид:


Берем внутреннюю область круга
(включая границу), попавшую в III область.
В четвертом случае исходное неравенство примет вид:


Берем внутреннюю область круга
(включая границу), попавшую в IV область.
Получаем:

Несложно вычислить координаты ключевых точек
и
(см. рис.).

Становится видно, что множество решений неравенства
содержит ровно четыре целых значения
при
.
Ответ:
.
Добавить комментарий