Простейшие иррациональные уравнения мы рассматривали здесь.

С простейшими иррациональными уравнениями мы сталкиваемся в части В ЕГЭ по математике.
Сегодня же работаем с иррациональными уравнениями, с которыми вы можете столкнуться в части С ЕГЭ по математике.
Предлагаю решать уравнения способом равносильных переходов.
Это не единственный способ. Можно, например, переходить к уравнениям-следствиям, после чего полученные корни подвергать проверке. Но это не всегда удобно…
Задание 1.
Решить уравнение: 
Решение:+ показать
Какая информация скрыта в самом уравнении?
Очевидно, что
и
.
Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложеннную в исходном уравнении.
Получаем равносильную систему:

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и
, если
и мы уже сказали, что
?
Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!
Итак,


Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.
Ответ: 5.
Задание 2.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Данное уравнение равносильно системе:

(Нет смысла указывать, что еще и
. Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

Откуда


Итак, 
Ответ: 1.
Задание 3.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение следующим образом:

Что мы видим?
Подкоренное выражение (
) неотрицательно.
А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и 
Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.
Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе
? На самом деле об этом в системе сказано! Ведь
есть
, а квадрат не может быть отрицательным.
Итак,


Решение системы – число -1.
Ответ: -1.
Задание 4.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение так:

Мы не будем сокращать обе части уравнения на
! Это может грозить потерей корней.
Выход такой (вынесение за скобку общего множителя):

Переходим к совокупности:

Обратите внимание – уравнение
должно быть подчинено условию
!
Можно сказать так:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует.
Возвращаемся к совокупности:
Корень уравнения
не удовлетворяет неравенству 
Поэтому совокупность равносильна уравнению

Откуда




Ответ: -7; 8.
Задание 5.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение следующим образом:

Обе части этого уравнения на его области определения принимают неотрицательные значения.
Возведем в квадрат обе части:

Это уравнение равносильно исходному.
Далее



Откуда





Ответ: 6.
Задание 6.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Выгодно переписать уравнение вот так:

Возводим обе части уравнения в квадрат, переходим к системе, равносильной исходному уравнению:

Система равносильна уравнению:



Если мы уже указали, что
и при этом у нас правая часть равенства
неотрицательна, то
вытекает автоматически.
(Точно также мы могли бы указать лишь
и не указывать, что
).



Ответ: 3.
Задание 7.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
После разложения на множители каждого подкоренного выражения имеем:

Конечно же, мы замечаем одинаковый множитель
в подкоренных выражениях. Как это использовать?
Только будьте осторожны! Нельзя расщеплять корень такого вида
на
! Это верно только в случае 
Рассмотрим три случая:
1) 
является корнем исходного уравнения.
2) 
Тогда 
Или (после деления на
обеих частей)

Откуда


При
уравнение
не имеет решений, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.
Рассмотрим третий случай.
3) 
Тогда 

или (после деления на
обеих частей)





Уравнение не имеет корней, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.
Итак, решением исходного уравнения является 4 (из случая (1)).
Ответ: 4.
Задание 8.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Рассмотрим еще один полезный прием.
Домножим обе части уравнения на
.
Но, обратите внимание, эта разность обращается в нуль при
(но
– не есть корень исходного уравнения).
Поэтому, чтобы в дальнейшем вдруг не получить посторонние корни, потребуем, чтобы 


Поскольку
, сократим на
обе части уравнения, перейдем к равносильному уравнению:

Возводим в квадрат обе части равенства:


Уравнение корней не имеет. (Зря старались:)…)
Ответ: решений нет.
Задание 9.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Как и в предыдущем задании домножим обе части уравнения на сопряженное к левой части уравнения выражение.


или

Это уравнение равносильно исходному.
Возьмем теперь, и сложим исходное уравнение и последнее:

При этом надо понимать, что 
То есть имеем систему:

Тогда




Ответ: 12.
Задание 10.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение вот так:

А теперь и так:

Напрашивается замена: 



Обратная замена:




или 
Ответ: -4; 2.
Продолжение смотрите здесь.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1. 
Ответ: + показать
2; 3
2. 
Ответ: + показать
3. 
Ответ: + показать
нет корней
4. 
Ответ: + показать
-6; 7
5. 
Ответ: + показать
2
6. 
Ответ: + показать
1
7. 
Ответ: + показать
-1; 5
8. 
Ответ: + показать
-1
9. 
Ответ: + показать
-21; 21
10. 
Ответ: + показать
-7; 7
Вот в 9 задании про сложение уравнений совсем дико было D: Это каак? Это почему мы так можем делать? Это вообще законно?
Если к равным частям прибавить равные, то что, – получим неравные?
А действительно, никогда такого метода не видел. Но это не беда, ведь я забуду его так же быстро, как и узнал. Часто это вообще используется?
А разве вы никогда не решали, например, системы уравнений методом сложения?
Используется по обстоятельствам))
С системами было, но там то я привык, что это используется, чтобы быстренько оставить только одну неизвестную, да и записываются в системе они друг под другом,так что нагляднее. А тут при новых обстоятельствах такое меня совсем шокировалох)
Подскажите пожалуйста как решать 8 и 9 из самостоятельной работы?
В 8 домножайте обе части равенства на сопряженное к первой скобке.
В 9 числитель и знаменатель домножайте на сопряж. к знаменателю.
9 получилось, а вот 8 что-то нет.
…
Большое вам спасибо:)