Иррациональные уравнения

Какая информация скрыта в самом уравнении?

Очевидно, что и .

Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложеннную в исходном уравнении.

Получаем равносильную систему:

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и , если и мы уже сказали, что ?

Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!

Итак,

Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.

Ответ: 5.

Данное уравнение равносильно системе:

(Нет смысла указывать, что еще и .  Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

 Откуда

Итак,

 Ответ: 1. 

Перепишем уравнение следующим образом:

Что мы видим?

Подкоренное выражение () неотрицательно.

А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и

Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.

Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе ? На самом деле об этом в системе сказано! Ведь  есть , а квадрат  не может быть отрицательным.

Итак,

Решение системы – число -1.

Ответ: -1. 

Перепишем уравнение так:

Мы не будем сокращать обе части уравнения на ! Это может грозить потерей корней.

Выход такой (вынесение за скобку общего множителя):

Переходим к совокупности:

Обратите внимание – уравнение  должно быть подчинено условию !

Можно сказать так:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует.

Возвращаемся к совокупности:

Корень уравнения не удовлетворяет неравенству

Поэтому совокупность равносильна уравнению

Откуда

Ответ: -7; 8. 

Перепишем уравнение следующим образом:

Обе части этого уравнения на его области определения  принимают неотрицательные значения.

Возведем  в квадрат обе части:

Это уравнение равносильно исходному.

Далее

Откуда

Ответ: 6. 

Выгодно переписать уравнение вот так:

Возводим обе части уравнения в квадрат, переходим к системе, равносильной исходному уравнению:

Система равносильна уравнению:

Если мы уже указали, что  и при этом у нас правая часть равенства  неотрицательна, то  вытекает автоматически.

(Точно также мы могли бы указать лишь  и не указывать, что ).

Ответ: 3. 

После разложения на множители каждого подкоренного выражения имеем:

Конечно же, мы замечаем одинаковый множитель в подкоренных выражениях.  Как это использовать?

Только будьте осторожны! Нельзя расщеплять корень такого вида на ! Это верно только в случае

Рассмотрим три случая:

1) 

является корнем исходного уравнения.

2)

Тогда

Или (после деления на обеих частей)

Откуда

При уравнение не имеет решений, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Рассмотрим третий случай.

3)

Тогда

или (после деления на обеих частей)

Уравнение не имеет корней, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Итак, решением исходного уравнения является 4 (из случая (1)).

Ответ: 4. 

Рассмотрим еще один полезный прием.

Домножим обе части уравнения на .

Но, обратите внимание, эта разность обращается в нуль при (но – не есть корень исходного уравнения).

Поэтому, чтобы в дальнейшем вдруг не получить посторонние корни, потребуем, чтобы

Поскольку , сократим на обе части уравнения, перейдем к равносильному уравнению:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Уравнение корней не имеет. (Зря старались:)…)

Ответ: решений нет. 

Как и в предыдущем задании домножим обе части уравнения на сопряженное к левой части уравнения выражение.

или

Это уравнение равносильно исходному.

Возьмем теперь, и сложим исходное уравнение и последнее:

При этом надо понимать, что

То есть имеем систему:

Тогда

Ответ: 12. 

Перепишем уравнение вот так:

А теперь и так:

Напрашивается замена:

Обратная замена:

или

Ответ: -4; 2.