Иррациональные уравнения

Какая информация скрыта в самом уравнении?

Очевидно, что $x^2-5x+1\geq 0$ и $x-4\geq 0$.

Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложеннную в исходном уравнении.

Получаем равносильную систему:

$\begin{cases}x^2-5x+1=x-4,\\x-4\geq 0;&\end{cases}$

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и $x^2-5x+1\geq 0$, если $x^2-5x+1=x-4$ и мы уже сказали, что $x-4\geq 0$?

Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!

Итак,

$\begin{cases}x^2-6x+5=0,\\x\geq 4;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=5,\\x=1;\end{array}\right.\\x\geq 4;\end{cases}$

Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.

Ответ: 5.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}(3-x)(2-x)=2,\\2-x\geq 0;&\end{cases}$

(Нет смысла указывать, что еще и $3-x\geq 0$.  Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

$\begin{cases}x^2-5x+4=0,\\x\leq 2;\end{cases}$

 Откуда

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=4,\\x=1;\end{array}\right.\\x\leq 2;\end{cases}$

Итак, $x=1.$

 Ответ: 1. 

Перепишем уравнение следующим образом:

$\sqrt{2x^2+8x+7}=x+2;$

Что мы видим?

Подкоренное выражение ($2x^2+8x+7$) неотрицательно.

А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и $x+2\geq 0.$

Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.

Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

$\begin{cases}2x^2+8x+7=(x+2)^2,\\x+2\geq 0,\end{cases}$

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе $2x^2+8x+7\geq 0$? На самом деле об этом в системе сказано! Ведь $2x^2+8x+7$ есть $(x+2)^2$, а квадрат  не может быть отрицательным.

Итак,

$\begin{cases}x^2+4x+3=0,\\x\geq -2,\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=-1,\\x=-3;\end{array}\right.\\x\leq 2;\end{cases}$

Решение системы – число -1.

Ответ: -1. 

Перепишем уравнение так:

$(x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6(x+2);$

Мы не будем сокращать обе части уравнения на $(x+2)$! Это может грозить потерей корней.

Выход такой (вынесение за скобку общего множителя):

 $(x+2)(\sqrt{x^2-x-20}-6)=0;$

Переходим к совокупности:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x+2=0,\\x^2-x-20\geq 0;\end{cases}\\\sqrt{x^2-x-20}=6;\end{array}\right.$

Обратите внимание – уравнение $x+2=0$  должно быть подчинено условию $x^2-x-20\geq 0$!

Можно сказать так:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует.

Возвращаемся к совокупности:

Корень уравнения $x+2=0$ не удовлетворяет неравенству $x^2-x-20\geq 0.$

Поэтому совокупность равносильна уравнению

$\sqrt{x^2-x-20}=6;$

Откуда

$x^2-x-20=36;$

$x^2-x-56=0;$

$x=\frac{1\pm 15}{2};$

$x=8$ или $x=7.$

Ответ: -7; 8. 

Перепишем уравнение следующим образом:

$3\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+7;$

Обе части этого уравнения на его области определения  принимают неотрицательные значения.

Возведем  в квадрат обе части:

$9(x+3)=(\sqrt{x-2}+7)^2;$

Это уравнение равносильно исходному.

Далее

$9x+27=x-2+2\cdot 7\cdot \sqrt{x-2}+49;$

$8x-20=14\sqrt{x-2};$

$4x-10=7\sqrt{x-2};$

Откуда

$\begin{cases}(4x-10)^2=49(x-2),\\4x-10\geq 0,\end{cases}$

$\begin{cases}16x^2-129x+198=0,\\2x-5\geq 0,\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{129\pm 63}{32},\\2x-5\geq 0,\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{129\pm 63}{32},\\2x-5\geq 0,\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=6,\\x=2\frac{1}{16};\end{array}\right.\\x\geq 2,5;\end{cases}$

$x=6.$

Ответ: 6. 

Выгодно переписать уравнение вот так:

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5};$

Возводим обе части уравнения в квадрат, переходим к системе, равносильной исходному уравнению:

$\begin{cases}x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{x-2}+x-2=2x-5,\\\sqrt{x+1}\geq \sqrt{x-2};\end{cases}$

Система равносильна уравнению:

$4=2\sqrt{x+1}\sqrt{x-2};$

$\sqrt{x+1}\sqrt{x-2}=2;$

$\begin{cases}(x+1)(x-2)=4,\\x-2\geq 0;\end{cases}$

Если мы уже указали, что $x-2\geq 0$  и при этом у нас правая часть равенства $(x+1)(x-2)=4$  неотрицательна, то $x+1\geq 0$ вытекает автоматически.

(Точно также мы могли бы указать лишь $x+1\geq 0$ и не указывать, что $x-2\geq 0$).

$\begin{cases}x^2-x-6=0,\\x-2\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{1\pm 5}{2},\\x\geq 2;\end{cases}$

$x=3.$

Ответ: 3. 

После разложения на множители каждого подкоренного выражения имеем:

$\sqrt{(x-4)(x+2)}-\sqrt{(x-4)(x+4)}=\sqrt{3(x-4)(x-\frac{1}{3})};$

Конечно же, мы замечаем одинаковый множитель $x-4$ в подкоренных выражениях.  Как это использовать?

Только будьте осторожны! Нельзя расщеплять корень такого вида $\sqrt{ab}$ на $\sqrt{a}\sqrt{b}$! Это верно только в случае $a\geq 0,\;b\geq 0.$

Рассмотрим три случая:

1) $x-4=0$

$x=4$ является корнем исходного уравнения.

2) $x-4>0$

Тогда $\sqrt{x-4}\sqrt{x+2}-\sqrt{x-4}\sqrt{x+4}=\sqrt{x-4}\sqrt{3x-1}.$

Или (после деления на $\sqrt{x-4}$ обеих частей)

$\sqrt{x+2}-\sqrt{x+4}-\sqrt{3x-1}=0;$

Откуда

$\begin{cases}x+2=(\sqrt{x+4}+\sqrt{3x-1})^2,\\x+2\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}-3x-1=2\sqrt{x+4}\sqrt{3x-1},\\x+2\geq 0;\end{cases}$

При $x>4$ уравнение $-3x-1=2\sqrt{x+4}\sqrt{3x-1}$ не имеет решений, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Рассмотрим третий случай.

3) $x-4<0$

Тогда $\sqrt{-x+4}\sqrt{-x-2}-\sqrt{-x+4}\sqrt{-x-4}=\sqrt{-x+4}\sqrt{-3x+1};$

$\sqrt{4-x}(\sqrt{-x-2}-\sqrt{-x-4}-\sqrt{1-3x})=0;$

или (после деления на $\sqrt{4-x}$ обеих частей)

$\sqrt{-x-2}-\sqrt{-x-4}-\sqrt{1-3x}=0;$

$\sqrt{-x-2}=\sqrt{-x-4}+\sqrt{1-3x};$

$-x-2=(\sqrt{-x-4}+\sqrt{1-3x})^2;$

$-x-2=-x-4+2\sqrt{-x-4}\sqrt{1-3x}+1-3x;$

$3x+1=2\sqrt{-x-4}\sqrt{1-3x};$

Уравнение не имеет корней, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Итак, решением исходного уравнения является 4 (из случая (1)).

Ответ: 4. 

Рассмотрим еще один полезный прием.

Домножим обе части уравнения на $\sqrt{17+x}-\sqrt{17-x}$.

Но, обратите внимание, эта разность обращается в нуль при $x=0$ (но $x=0$ – не есть корень исходного уравнения).

Поэтому, чтобы в дальнейшем вдруг не получить посторонние корни, потребуем, чтобы $x\neq 0:$

$(\sqrt{17+x}+\sqrt{17-x})(\sqrt{17+x}-\sqrt{17-x})=\frac{x}{4}\(\sqrt{17+x}-\sqrt{17-x}),\;x\neq 0;$

$2x=\frac{x}{4}\cdot (\sqrt{17+x}-\sqrt{17-x}),\;x\neq 0;$

Поскольку $x\neq 0$, сократим на $x$ обе части уравнения, перейдем к равносильному уравнению:

$8=(\sqrt{17+x}-\sqrt{17-x});$

Возводим в квадрат обе части равенства:

$17+x-2\sqrt{17+x}\sqrt{17-x}+17-x=64;$

$\sqrt{17+x}\sqrt{17-x}=-15;$

Уравнение корней не имеет. (Зря старались:)…)

Ответ: решений нет. 

Как и в предыдущем задании домножим обе части уравнения на сопряженное к левой части уравнения выражение.

$\frac{20+x}{x}-\frac{20-x}{x}=\sqrt6(\sqrt{\frac{20+x}{x}}-\sqrt{\frac{20-x}{x}});$

$2=\sqrt6(\sqrt{\frac{20+x}{x}}-\sqrt{\frac{20-x}{x}});$

или

$\sqrt{\frac{20+x}{x}}-\sqrt{\frac{20-x}{x}}=\frac{\sqrt6}{3};$

Это уравнение равносильно исходному.

Возьмем теперь, и сложим исходное уравнение и последнее:

$2\sqrt{\frac{20+x}{x}}=\frac{4\sqrt6}{3};$

При этом надо понимать, что $\frac{20-x}{x}\geq 0.$

То есть имеем систему:

$\begin{cases}\sqrt{\frac{20+x}{x}}=\frac{2\sqrt6}{3},\\0<x\leq 20;\end{cases}$

Тогда

$\begin{cases}\frac{x+20}{x}=\frac{8}{3},\\0<x\leq 20;\end{cases}$

$\begin{cases}3x+60=8x,\\0<x\leq 20;\end{cases}$

$\begin{cases}x=12,\\0<x\leq 20;\end{cases}$

$x=12.$

Ответ: 12. 

Перепишем уравнение вот так:

$x^2+2x-12+\sqrt{x^2+2x+8}=0;$

А теперь и так:

$(x^2+2x+8)-20+\sqrt{x^2+2x+8}=0;$

Напрашивается замена: $\sqrt{x^2+2x+8}=t,\;t\geq 0;$

$t^2+t-20=0,\;t\geq 0;$

$t=\frac{-1\pm 9}{2},\;t\geq 0;$

$t=4;$

Обратная замена:

$\sqrt{x^2+2x+8}=4;$

$x^2+2x+8=16;$

$x^2+2x-8=0;$

$x=-1\pm 3;$

$x=-4$ или $x=2.$

Ответ: -4; 2.