Разложение на множители

Замечаем общий множитель, применяем п.1:
$64a-a^2=64$ $\quicklatex{color=”blue”}a$ – $\quicklatex{color=”blue”}a$ $\cdot a^2=$ $\quicklatex{color=”blue”}a$ $(64-a^2)$. Но можно продолжить разбиение на множители, применив п.2 (формула “разность квадратов”) к выражению $(64-a^2)=8$ $\quicklatex{color=”blue”}{^2}$ $-a$ $\quicklatex{color=”blue”}^2$. Получим:$64a-a^3 =a(8-a)(8+a)$ 

Выносим сначала согласно п.1 общий множитель x за скобку
$x^3-10x^2+25x=x(x^2-10x+25).$ Получившийся второй множитель требует дальнейшего разложения. Замечаем в нем полный квадрат (п.3).
Действительно, $x^2-10x+25=$ $\quicklatex{color=#009933}x$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-2\cdot$ $\quicklatex{color=#009933}x$ $\cdot$ $\$\quicklatex{color=#FF9933}5$ $+$ $\quicklatex{color=#FF9933}5$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=($ $\quicklatex{color=#009933}x$ $-$ $\quicklatex{color=#FF9933}5$ $)^2$Поэтому окончательный ответ: $x^3-10x^2+25x=x(x-5)^2 $

Перебираем пункты по порядку, понимаем, что, скорее всего, подойдет п.6, группировка. Действительно,

$ab-2a-3b+6=$ $\quicklatex{color=#FF9933}a$ $\cdot b-2\cdot$ $\quicklatex{color=#FF9933}a$ $+$ $\quicklatex{color=##009933}(-3)$ $\cdot b-$ $\quicklatex{color=##009933}(-3)$ $\cdot 2=$ $\quicklatex{color=#FF9933}a$ $(b-2)$ $\quicklatex{color=##009933} -3$ $(b-2)$ $=(a-3)(b-2)$ 

Применяем п.4, формулу разность кубов: $x^3-8y^6=x$ $\quicklatex{color=”red”}^3$ $-$ $(2y^2)$ $\quicklatex{color=”red”}^3$ $=(x-2y^2)(x^2+2xy^2+4y^4)$ 

На первый взгляд может показаться, что подойдет способ группировки. Но это не так ($c$ встречается один раз, значит мы не найдем пару последнему слагаемому). Будем комбинировать пункты вышеприведенных способов. А именно, замечаем, что первые три слагаемые можно свернуть в квадрат разности (п.3)
$\quicklatex{color=”red”}b^2-8b+16$ $-c^2=$ $\quicklatex{color=”red”}(b-4)^2$ $-c^2.$
Далее применяем формулу “разность квадратов” (п.2): $b^2-8b+16-c^2=(b-4)$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-c$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=(b-4-c)(b-4+c)$ 

Чтобы сократить дробь, следует разбить на множители числитель и\или знаменатель. Применяем способ группировки (п.6) (а также формулу “разность квадратов”, п.2) к числителю:
$\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}=\frac{{(x-y)}(x+y)+2(x-y)}{x+y+2}=\frac{(x-y)(x+y+2)}{x+y+2}=x-y$ 

Будем вести разложение на множители, пользуясь пунктом 7. Сразу можем заготовить шаблончик: $x^2+4x-21=(x-…)(x-…)$. Решаем уравнение $x^2+4x-21=0$ через дискриминант: $D=16+84=100$, $x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2}$, $x_1=-7$, $x_2=3$. Поэтому $x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$.
Рассмотрим примеры чуть посложней. 

Для полного квадрата (п.3) первым трем слагаемым числителя не хватает коэффициента 2 перед вторым слагаемым. Представим $x^2$ как $2x^2-x^2$, что, кстати, еще и поможет нам в дальнейшем выйти на разность квадратов (п.2):
$\frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{x^4+2x^2+1-x^2}{x^2-x+1}=\frac{(x^2+1)^2-x^2}{x^2-x+1}=\frac{(x^2+1-x)(x^2+1+x)}{x^2-x+1}= x^2+x+1$ 

Перемножим первую скобку с последней, вторую с третьей, что даст нам одинаковые двучлены внутри новых скобок:
$\quicklatex{color=”red”}(x+1)$ $(x+2)(x+3)$ $\quicklatex{color=”red”}(x+4)$ $-35=$
$=($$\quicklatex{color=”red”}x^2+5x+4$ $)($ $\quicklatex{color=”red”}x^2+5x+4$ $+2)-35=(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)-35.$ Видим, что до полного квадрата первым двум слагаемым не хватает третьего слагаемого, равного 1. Организуем ее:$(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)-35=$ $\quicklatex{color=”red”}(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)+1$ $-36=$
$=(x^2+5x+4+1)$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-6$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=$ $=(x^2+5x+5-6)(x^2+5x+5+6)=$ $=(x^2+5x-1)(x^2+5x+11)$