Выносим сначала согласно п.1 общий множитель x за скобку
$x^3-10x^2+25x=x(x^2-10x+25).$ Получившийся второй множитель требует дальнейшего разложения. Замечаем в нем полный квадрат (п.3).
Действительно, $x^2-10x+25=$ $\quicklatex{color=#009933}x$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-2\cdot$ $\quicklatex{color=#009933}x$ $\cdot$ $\$\quicklatex{color=#FF9933}5$ $+$ $\quicklatex{color=#FF9933}5$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=($ $\quicklatex{color=#009933}x$ $-$ $\quicklatex{color=#FF9933}5$ $)^2$Поэтому окончательный ответ: $x^3-10x^2+25x=x(x-5)^2 $
На первый взгляд может показаться, что подойдет способ группировки. Но это не так ($c$ встречается один раз, значит мы не найдем пару последнему слагаемому). Будем комбинировать пункты вышеприведенных способов. А именно, замечаем, что первые три слагаемые можно свернуть в квадрат разности (п.3)
$\quicklatex{color=”red”}b^2-8b+16$ $-c^2=$ $\quicklatex{color=”red”}(b-4)^2$ $-c^2.$
Далее применяем формулу “разность квадратов” (п.2): $b^2-8b+16-c^2=(b-4)$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-c$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=(b-4-c)(b-4+c)$
Пример 6. Сократить дробь:$\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$.
Чтобы сократить дробь, следует разбить на множители числитель и\или знаменатель. Применяем способ группировки (п.6) (а также формулу “разность квадратов”, п.2) к числителю:
$\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}=\frac{{(x-y)}(x+y)+2(x-y)}{x+y+2}=\frac{(x-y)(x+y+2)}{x+y+2}=x-y$
Будем вести разложение на множители, пользуясь пунктом 7. Сразу можем заготовить шаблончик: $x^2+4x-21=(x-…)(x-…)$. Решаем уравнение $x^2+4x-21=0$ через дискриминант: $D=16+84=100$, $x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2}$, $x_1=-7$, $x_2=3$. Поэтому $x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$.
Рассмотрим примеры чуть посложней.
Пример 8. Сократить дробь:$\Large\frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1}.$
Для полного квадрата (п.3) первым трем слагаемым числителя не хватает коэффициента 2 перед вторым слагаемым. Представим $x^2$ как $2x^2-x^2$, что, кстати, еще и поможет нам в дальнейшем выйти на разность квадратов (п.2):
$\frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{x^4+2x^2+1-x^2}{x^2-x+1}=\frac{(x^2+1)^2-x^2}{x^2-x+1}=\frac{(x^2+1-x)(x^2+1+x)}{x^2-x+1}= x^2+x+1$
Пример 9. Разложить на множители: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-35$.
Перемножим первую скобку с последней, вторую с третьей, что даст нам одинаковые двучлены внутри новых скобок:
$\quicklatex{color=”red”}(x+1)$ $(x+2)(x+3)$ $\quicklatex{color=”red”}(x+4)$ $-35=$
$=($$\quicklatex{color=”red”}x^2+5x+4$ $)($ $\quicklatex{color=”red”}x^2+5x+4$ $+2)-35=(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)-35.$ Видим, что до полного квадрата первым двум слагаемым не хватает третьего слагаемого, равного 1. Организуем ее:$(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)-35=$ $\quicklatex{color=”red”}(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)+1$ $-36=$
$=(x^2+5x+4+1)$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $-6$ $\quicklatex{color=”red”}^2$ $=$ $=(x^2+5x+5-6)(x^2+5x+5+6)=$ $=(x^2+5x-1)(x^2+5x+11)$
У меня никогда не получалось запомнить эти формулы, путаюсь в них постоянно…
Надо бы разобраться в них… Это основа. Не выучив букв, не сможете читать… :D
Для части В можно обойтись и без кубов… Но если беретесь и за С, тогда…
В 4 примере в ответе во второй скобке у y, похоже, сбежал квадрат.
Дмитрий? Благодарю!
В решении 3 примера ошибка Правильный ответ: (b-2)(a-3)
Жан, спасибо!
Откуда в 9-м примере …2(х^2 + 5x + 4)?
Раскрытие скобок… считайте 2x^2+5x+4 – это m. Что будет по-вашему при раскрытии скобок здесь: m(m+2)-35?
– думайте!
Не спешите бросаться
Опечатка в 1-ом решении задачи
Анна, спасибо! Исправлено.