С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 3 (обобщенный метод интервалов)

2016-04-15

Продолжение

Начало – часть 1, часть 2.

Решим неравенство

\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2 обобщенным методом интервалов.

Как и в предыдущих случаях сделаем замену m=log_8x.  Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0.

Или, что тоже самое, что и m(1-\sqrt{1-4m^2}-2m)<0

Прежде всего находим ОДЗ неравенства:

1-4m^2\geq 0

Применяем формулу «разность квадратов»:

(1-2m)(1+2m)\geq 0,&

Идем на координатную ось и отмечаем решение неравества:

Итак, m\in[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}].

 

Теперь будем искать нули функции f(m)=m(1-\sqrt{1-4m^2}-2m):

1-\sqrt{1-4m^2}-2m=0 или m=0

1-2m=\sqrt{1-4m^2} или  m=0

Из первого равенства следует:

1-4m+4m^2=1-4m^2,

-4m+8m^2=0,

4m(2m-1)=0,

m=0 или m=\frac{1}{2}.

 

Теперь на ОДЗ  нанесем корни f(m), и выясним, как распределяются знаки f(m) на образовавшихся промежутках (-\frac{1}{2};0),\;(0;\frac{1}{2}).

f(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}(1-\sqrt{1-4{(\frac{1}{4})}^2}-2\cdot \frac{1}{4})=\frac{1}{4}(\frac{1-\sqrt3}{2})<0

f(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}(1-\sqrt{1-4{(-\frac{1}{4})}^2}+2\cdot \frac{1}{4})=-\frac{1}{4}(\frac{\sqrt3+1}{2})<0

Имеем:

m\in [-\frac{1}{2};0)\cup(0;\frac{1}{2}).

Осталось лишь сделать обратную замену:

-0.5\leq log_8x<0  или 0<log_8<0.5

8^{-0.5}\leq x<8^0 или 8^0<x<8^{0.5}

\frac{\sqrt2}{4}\leq  x<1 или 1<x<\sqrt2.

Ответ: [\frac{\sqrt2}{4}; 1)\cup(1;2\sqrt2)

Итак, мы рассмотрели три способа решения одного и того же неравенства (часть 1часть 2.).

Выбирайте, какой из способов вам больше подходит.

 

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Наталья

    Уважаемая Елена, огромное Вам спасибо за ваш труд!
    С удовольствием изучила все три способа, показалось, что последний наиболее прост для понимания. :)
    опечаточка маленькая: где “находим одз неравенства”, знак другой.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Валерия

    здравствуйте , почему , при m включается 0.5 , а при логарифме уже нет ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Была небольшая опечатка. Исправлено. Спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif