С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 1

2014-09-03

Рассмотрим решение следующего неравенства:

\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2

Предлагаю разобрать решение данного неравенства тремя разными способами:

1) через совокупность;

2) через метод рационализации (часть 2);

3) через обобщенный метод интервалов (часть 3);

Сегодня остановимся, пожалуй, на самом длинном способе решения. Но те, кто не знаком с такими понятиями, как «рационализация», «обобщенный метод интервалов», решают именно так. Понимание этого способа  не будет лишним в любом случае.

Начнем.

Сразу же сделаем замену m=log_8x.  Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0.

Произведение двух множителей будет отрицательным, когда множители будут иметь разные знаки, поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1): \begin{cases} & 1-\sqrt{1-4m^2}-2m<0, & & m>0; \end{cases}
и
(2): \begin{cases} & 1-\sqrt{1-4m^2}-2m>0, & & m<0; \end{cases}

В ответ пойдет как решение первой системы, так и второй.

Решим систему (1):
\begin{cases} & \sqrt{1-4m^2}>1-2m, & & m>0; \end{cases}

В первой строке системы

 \sqrt{1-4m^2}>1-2m (3)

хотелось бы уйти от радикала… Можем ли мы возвести в квадрат обе части неравенства?
Можем, если обе части неравенства не отрицательные.
А что у нас со знаком выражения 1-2m? Выражение может быть и отрицательным. Что делать?

Рассмотрим два случая:
а) Если 1-2m<0, то  (3) является верным неравенством (на ОДЗ), так как корень квадратный (слева) всегда больше отрицательной величины. Итак, ограничивает нас только ОДЗ: подкоренное выражение – неотрицательное! Поэтому 1-4m^2\geq 0, то есть (1-2m)(1+2m)\geq 0. И так как мы находимся в ситуации 1-2m<0, то имеем следующую систему:

\begin{cases} & 1-2m<0, & & 1+2m\leq 0; \end{cases}

Значит \begin{cases} & m>0.5, & & m\leq -0.5; \end{cases} Решений нет.

б) Если 1-2m > 0 (заметим,  m=0.5  не является решением неравенства), то можем обе части неравенства (3) возвести  в квадрат (помним и об ОДЗ).

\begin{cases} &1-4m^2>1-4m+4m^2&  &1-2m> 0\end{cases}

\begin{cases} &8m^2-4m<0,&  &1-2m> 0;\end{cases}

\begin{cases} &4m(2m-1)<0,&  &1-2m> 0;\end{cases}

Домножим обе части первой строки на -4:

\begin{cases} &m(1-2m)>0,&  &1-2m> 0;\end{cases}

Система равносильна следующей:

\begin{cases} &m>0,&  &m<0.5,&  \end{cases}

Откуда 0<m<0.5

Итак, в результате рассмотрения двух случаев (а) и (б), имеем: 0<m< 0.5 Возвращаясь в систему (1), получаем: 

\begin{cases} &m>0,&  &0<m<0.5;&  \end{cases}

То есть система (1)  имеет решение: 0<m<0.5.

Решим систему (2):

\begin{cases} & 1-\sqrt{1-4m^2}-2m>0, & & m<0; \end{cases}

В первой строке системы

 \sqrt{1-4m^2}<1-2m 

Имеем право возвести в квадрат обе части неравенства, так как они обе неотрицательны (помним об ОДЗ при этом):

\begin{cases}  &1-4m^2<1-4m+4m^2&  &1-4m^2\geq 0\end{cases}

\begin{cases} &8m^2-4m>0,&  &(1-2m)(1+2m)\geq 0;\end{cases}

\begin{cases} &4m(2m-1)>0,&  &(1-2m)(1+2m)\geq 0;\end{cases}

Решаем методом интервалов  каждое неравенство из системы и пересекаем решения:

Итак, -0.5\leq m<0.

Возвращаясь в систему (2), имеем

\begin{cases} &-0.5\leq m<0,&  &m<0;\end{cases}

Решение системы (2)-0.5\leq m<0.

Наконец, системы (1), (2) связаны у нас совокупностью, поэтому, объединяя решения, получаем:  -0.5\leq m<0 или 0<m<0.5

Произведем обратную замену: -0.5\leq log_8x<0  или 0<log_8x<0.5

8^{-0.5}\leq x<8^0 или 8^0<x<8^{0.5}

\frac{\sqrt2}{4}\leq x<1 или 1<x<2\sqrt2.

Ответ: [\frac{\sqrt2}{4}; 1)\cup(1;2\sqrt2)

Продолжение здесь:

Часть 2
Часть 3

 

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif