Рассмотрим решение следующего неравенства:
Предлагаю разобрать решение данного неравенства тремя разными способами:
1) через совокупность;
2) через метод рационализации (часть 2);
3) через обобщенный метод интервалов (часть 3);
Сегодня остановимся, пожалуй, на самом длинном способе решения. Но те, кто не знаком с такими понятиями, как «рационализация», «обобщенный метод интервалов», решают именно так. Понимание этого способа не будет лишним в любом случае.
Начнем.
Сразу же сделаем замену . Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:
.
Произведение двух множителей будет отрицательным, когда множители будут иметь разные знаки, поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
(1):
и
(2):
В ответ пойдет как решение первой системы, так и второй.
Решим систему (1):
В первой строке системы
(3)
хотелось бы уйти от радикала… Можем ли мы возвести в квадрат обе части неравенства?
Можем, если обе части неравенства не отрицательные.
А что у нас со знаком выражения ? Выражение может быть и отрицательным. Что делать?
Рассмотрим два случая:
а) Если , то (3) является верным неравенством (на ОДЗ), так как корень квадратный (слева) всегда больше отрицательной величины. Итак, ограничивает нас только ОДЗ: подкоренное выражение – неотрицательное! Поэтому
, то есть
. И так как мы находимся в ситуации
, то имеем следующую систему:
Значит Решений нет.
б) Если (заметим,
не является решением неравенства), то можем обе части неравенства (3) возвести в квадрат (помним и об ОДЗ).
Домножим обе части первой строки на :
Система равносильна следующей:
Откуда
Итак, в результате рассмотрения двух случаев (а) и (б), имеем: Возвращаясь в систему (1), получаем:
То есть система (1) имеет решение: .
Решим систему (2):
В первой строке системы
Имеем право возвести в квадрат обе части неравенства, так как они обе неотрицательны (помним об ОДЗ при этом):
Решаем методом интервалов каждое неравенство из системы и пересекаем решения:
Итак, .
Возвращаясь в систему (2), имеем
Решение системы (2): .
Наконец, системы (1), (2) связаны у нас совокупностью, поэтому, объединяя решения, получаем: или
Произведем обратную замену: или
или
или
.
Ответ:
Продолжение здесь:
Добавить комментарий