Главная › 14 (С3) Неравенства › С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 1

07 Июн 2013

Категория: 14 (С3) НеравенстваИррациональные выражения, уравнения и неравенстваЛогарифмы

С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 1

Елена Репина 2013-06-07 2014-09-03

Рассмотрим решение следующего неравенства:

$\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2$

Предлагаю разобрать решение данного неравенства тремя разными способами:

1) через совокупность;

2) через метод рационализации (часть 2);

3) через обобщенный метод интервалов (часть 3);

Сегодня остановимся, пожалуй, на самом длинном способе решения. Но те, кто не знаком с такими понятиями, как «рационализация», «обобщенный метод интервалов», решают именно так. Понимание этого способа не будет лишним в любом случае.

Начнем.

Сразу же сделаем замену $m=log_8x$ . Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0$ .

Произведение двух множителей будет отрицательным, когда множители будут иметь разные знаки, поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1): $\begin{cases} & 1-\sqrt{1-4m^2}-2m<0, & & m>0; \end{cases}$
и
(2): $\begin{cases} & 1-\sqrt{1-4m^2}-2m>0, & & m<0; \end{cases}$

В ответ пойдет как решение первой системы, так и второй.

Решим систему (1):
$\begin{cases} & \sqrt{1-4m^2}>1-2m, & & m>0; \end{cases}$

В первой строке системы

$\sqrt{1-4m^2}>1-2m$ (3)

хотелось бы уйти от радикала… Можем ли мы возвести в квадрат обе части неравенства?
Можем, если обе части неравенства не отрицательные.
А что у нас со знаком выражения $1-2m$ ? Выражение может быть и отрицательным. Что делать?

Рассмотрим два случая:
а) Если $1-2m<0$ , то (3) является верным неравенством (на ОДЗ), так как корень квадратный (слева) всегда больше отрицательной величины. Итак, ограничивает нас только ОДЗ: подкоренное выражение – неотрицательное! Поэтому $1-4m^2\geq 0$ , то есть $(1-2m)(1+2m)\geq 0$ . И так как мы находимся в ситуации $1-2m<0$ , то имеем следующую систему: