С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 1

Рассмотрим решение следующего неравенства:

$\color{red}\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2$

Предлагаю разобрать решение данного неравенства тремя разными способами:

1) через совокупность;

2) через метод рационализации (часть 2);

3) через обобщенный метод интервалов (часть 3);

Сегодня остановимся, пожалуй, на самом длинном способе решения. Но те, кто не знаком с такими понятиями, как «рационализация», «обобщенный метод интервалов», решают именно так. Понимание этого способа  не будет лишним в любом случае.

Начнем.

Сразу же сделаем замену $m=log_8x$.  Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0$.

Произведение двух множителей будет отрицательным, когда множители будут иметь разные знаки, поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1): $\begin{cases}
& 1-\sqrt{1-4m^2}-2m<0,
\\m>0;
\end{cases}$
и
(2): $\begin{cases}
& 1-\sqrt{1-4m^2}-2m>0, \\m<0;
\end{cases}$

В ответ пойдет как решение первой системы, так и второй.

Решим систему (1):

$\begin{cases}
& \sqrt{1-4m^2}>1-2m, \\m>0;
\end{cases}$

В первой строке системы

$ \sqrt{1-4m^2}>1-2m$ (3)

хотелось бы уйти от радикала… Можем ли мы возвести в квадрат обе части неравенства?
Можем, если обе части неравенства не отрицательные.
А что у нас со знаком выражения $1-2m$? Выражение может быть и отрицательным. Что делать?

Рассмотрим два случая:
а) Если $\color{red}1-2m<0$, то  (3) является верным неравенством (на ОДЗ), так как корень квадратный (слева) всегда больше отрицательной величины. Итак, ограничивает нас только ОДЗ: подкоренное выражение – неотрицательное! Поэтому $1-4m^2\geq 0$, то есть $(1-2m)(1+2m)\geq 0$. И так как мы находимся в ситуации $1-2m<0$, то имеем следующую систему:

$\begin{cases}1-2m<0,\\1+2m\leq 0;\end{cases}$

Значит

$\begin{cases}m>0.5,\\m\leq -0.5;\end{cases}$

Решений нет.

б) Если $\color{red}1-2m > 0$ (заметим,  $m=0.5$  не является решением неравенства), то можем обе части неравенства (3) возвести  в квадрат (помним и об ОДЗ).

$\begin{cases}1-4m^2<1-4m+4m^2,\\1-2m> 0;\end{cases}$

$\begin{cases}8m^2-4m<0,\\1-2m> 0;\end{cases}$

$\begin{cases}4m(2m-1)<0,\\1-2m> 0;\end{cases}$

Домножим обе части первой строки на $-4$:

$\begin{cases}m(1-2m)<0,\\1-2m> 0;\end{cases}$

Система равносильна следующей:

$\begin{cases}m>0,\\1-2m> 0;\end{cases}$

Откуда $0<m<0.5$

Итак, в результате рассмотрения двух случаев (а) и (б), имеем: $\color{red}0<m< 0.5$ Возвращаясь в систему (1), получаем: 

$\begin{cases}m>0,\\0<m> 0.5;\end{cases}$

То есть система (1)  имеет решение: $0<m<0.5$.

Решим систему (2):

$\begin{cases}1-\sqrt{1-4m^2}-2m>0,\\m<0;\end{cases}$

В первой строке системы

$ \sqrt{1-4m^2}<1-2m$ 

Имеем право возвести в квадрат обе части неравенства, так как они обе неотрицательны (помним об ОДЗ при этом):

$\begin{cases}1-4m^2<1-4m+4m^2\\1-4m^2\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}4m(2m-1)>0,\\(1-2m)(1+2m)\geq 0;\end{cases}$

Решаем методом интервалов  каждое неравенство из системы и пересекаем решения:

Итак,

$-0.5\leq m<0$.

Возвращаясь в систему (2), имеем

$\begin{cases}-0.5\leq m<0,\\m<0;\end{cases}$

Решение системы (2): $-0.5\leq m<0$.

Наконец, системы (1), (2) связаны у нас совокупностью, поэтому, объединяя решения, получаем: $ -0.5\leq m<0$ или $0<m<0.5$

Произведем обратную замену: $-0.5\leq log_8x<0$  или $0<log_8x<0.5$

$8^{-0.5}\leq x<8^0$ или $8^0<x<8^{0.5}$

$\frac{\sqrt2}{4}\leq x<1$ или $1<x<2\sqrt2$.

Ответ: $[\frac{\sqrt2}{4}; 1)\cup(1;2\sqrt2)$

Продолжение здесь:

Часть 2
Часть 3