Архив по меткам: часть С

С2 (№16) из второй волны сдачи ЕГЭ 2013

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Видеоразбор 

 

Стереометрическая задача на комбинацию правильных геометрических тел. Предлагалась на ЕГЭ (вторая волна) в 2013 году.

Условие: 

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 3\sqrt2, а высота равна \sqrt{10}, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды). Найдите площадь этой сферы.

Читать далее

Задача из пробного экзамена в МГУ 2013

2017-07-13

Видеоразбор. Стереометрия. Правильный тетраэдр и куб

Предлагаю разобрать задачу по стереометрии (№8), предлагавшуюся на пробных вступительных экзаменах в МГУ (экономический факультет).

Также смотрите остальные задания  из этого же пробника здесь: №1, №2, №3№4№5, №6, №7.

Чтобы понять  решение задачи, вам обязательно нужно знать:

– что такое правильный тетраэд;

– что такое расстояние между скрещивающимися прямыми;

теорему о трех перпендикулярах;

признак и свойство прямой, перпендикулярной плоскости;

признак перпендикулярности плоскостей;

… Не говорю о базовых умениях находить площадь треугольника, применять т. Пифагора, оперировать с подобными треугольниками…

В общем, задача хороша!

И уж конечно, полезна для подготовки к ЕГЭ по математике (тем, кто берется за часть С :)).

Условие:

Читать далее

Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

2015-04-12

Сегодня предлагаю разобрать решение логарифмического неравенства (задание №5), которое предлагалось абитуриентам, поступающим в МГУ (экономический факультет) 20 июня 2013г.

Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №6, №7, №8.
Читать далее

С1 (№15) из реального ЕГЭ 2013 от 3 июня.

2015-09-04

Видеоразбор части С реального ЕГЭ по математике от 3 июня 2013

Рассмотрим разбор задания С1 (в новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №13»)

Здесь смотрим С2(№16), С3(№17), С4(№18), С5(№20) реального ЕГЭ-2013.

Тригонометрическое уравнение. Отбор корней на отрезке.

Читать далее

С2 (№16) из реального ЕГЭ 2013 от 3 июня

2015-09-04

Видеоразбор части С реального ЕГЭ по математике от 3 июня 2013

Рассмотрим разбор задания С2 (в новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №14»).

Здесь смотрим С1(№15), С3(№17), С4(№18), С5(№20) реального ЕГЭ-2013.

Стереометрическая задача на нахождение площади сечения

Читать далее

Метод рационализации. Часть 3. Примеры

2019-08-08

Рассмотрим несколько примеров категории С3 (№15). Решать будем, используя метод рационализации.

 

Пример 1. 

Решить неравенство \frac{\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{28-3x-x^2}}{x^2-x-6}<0

Решение:

Находим ОДЗ неравенства:

\begin{cases} &x^2+5x+6\geq 0,& &28-3x-x^2\geq 0,& &x^2-x-6\neq 0;& \end{cases}

\begin{cases} &(x+2)(x+3)\geq 0,& &(x+7)(x-4)\leq 0,& &(x-3)(x+2)\neq 0;& \end{cases}

x\in[-7;-3]\cup(-2;3)\cup(3;4].

Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и  неравенство

\frac{x^2+5x+6-28+3x+x^2}{x^2-x-6}<0 на ОДЗ! согласно методу рационализации.

или

(x^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0 (на ОДЗ)

2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

2(x-(-2+\sqrt{15}))(x-(-2-\sqrt{15}))(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

И, наконец, с учетом ОДЗ:

Ответ: (-2-\sqrt{15};-3]\cup(-2+\sqrt{15};3).

Пример 3.

Решить неравенство \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0

 Решение:

ОДЗ данного неравенства:

\begin{cases} &\frac{x}{3}> 0,& &\frac{x}{3}\neq 1,& &\log_x\sqrt{3-x}>0,& &x>0,& &x\neq 1,& &\sqrt{3-x}>0;& \end{cases}

Производим преобразования, – они совсем несложные. А вот к третьей строке применяем метод замены множителей:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(\sqrt{3-x}-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(3-x-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(2-x)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

Возвращаемся к исходному неравенству

 \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0,

производим замену множителей:

(\frac{x}{3}-1)(\log_x\sqrt{3-x}-1)\geq 0

И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(\sqrt{3-x}-x)\geq 0

К третьей скобке вновь применяем рационализацию.

Заметим, вообще говоря, \sqrt{x^2}=|x|, но так как в нашем случае (ОДЗ) x>0, то \sqrt{x^2}=x, то есть \sqrt{3-x}-x=\sqrt{3-x}-\sqrt{x^2}.

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(3-x-x^2)\geq 0

-(\frac{x}{3}-1)(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\geq 0

Учитываем ОДЗ:

Ответ: [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};2).

Пример 4. 

Решить неравенство x(|x^2-1|-2|x-1|)< 0

Решение:

Применяем метод рационализации:

x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0

x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0

x(x-1)^2(x+3)(x-1)<0

x(x-1)^3(x+3)<0

Ответ: (-\infty;-3)\cup(0;1).

Пример 5. 

Решить неравенство \frac{4^{x^2+3x-2}-0,5^{2x^2+2x-1}}{5^x-1}\leq 0

Решение:

Представим 0,5^{2x^2+2x-1} как ((\frac{1}{2})^2)^{x^2+x-0,5},

то есть 0,5^{2x^2+2x-1}=(\frac{1}{4})^{x^2+x-0,5}

Тогда

\frac{4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5}}{5^x-1}\leq 0

или

(4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5})(5^x-1)\leq 0,   5^x\neq 1

Применяем метод рационализации  к каждой из скобок:

(4-1)(x^2+3x-2+x^2+x-0,5)(5-1)(x-0)\leq 0,   x\neq 0

(2x^2+4x-2,5)x\leq 0,   x\neq 0

 2x(x-0,5)(x+2,5)\leq 0,   x\neq 0

Ответ: (-\infty;-2,5]\cup(0;0,5].

С3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 1

2014-09-03

Рассмотрим решение следующего неравенства:

\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2

Читать далее

С3 из ЕГЭ 2013 от 3 июня

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Видеоразбор части С реального ЕГЭ по математике от 3 июня 2013

Рассмотрим разбор задания С3.

Здесь смотрим С1(№15), C2(№16), С4(№18), С5(№20) реального ЕГЭ-2013.

Решить систему неравенств:

\begin{cases}\log_{6-x}\frac{x+5}{(x-6)^{12}}\ge  - 12,&  & x^3+7x^2+\frac{30x^2+7x-42}{x-6}\le 7;& \end{cases} Читать далее

С5 (№20) из ЕГЭ 2013 от 3 июня

2016-07-12

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Продолжаем готовиться к ЕГЭ по  математике.

Видеоразбор части С реального ЕГЭ по математике от 3 июня 2013

Рассмотрим разбор задания С5.

Здесь смотрим С1(№15), C2(№16), C3(№17), C4(№18), С6 реального ЕГЭ-2013.
Сейчас учимся решать задачи с параметром, которые встречаются в категории С5 ЕГЭ по математике.

Условие задачи,рассматриваемой в видеоролике: 

 Найти все значения a, при каждом из которых уравнение ax+\sqrt{-5-6x-x^2}=5a+2 имеет единственное решение. Читать далее

С4 (№18) из ЕГЭ 2013 от 3 июня

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Продолжаем готовиться к ЕГЭ по  математике.

Видеоразбор части С реального ЕГЭ по математике от 3 июня 2013

Рассмотрим разбор задания С4.

Здесь смотрим С1(№15), С2(№16), C3(№17), С5(№20), С6 реального ЕГЭ-2013.

Окружности радиусов 1 и 7 с центрами O_1 и O_2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую – вточке С. Найдите площадь треугольника BCO_2, если \angle ABO_1=22,5^{\circ} Читать далее

С5 (№20) из досрочного ЕГЭ 2013

2016-07-12

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Видеоразбор части С досрочного ЕГЭ по математике за 2013

Здесь смотрим разбор С2(№16), С4(№18)  из досрочного ЕГЭ по математике за 2013 г.

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение \log_{1-x}(a-x+2)=2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1;1). Читать далее

Егэ, С5 (№20). Система с параметром

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Видеоразбор  С5

Продолжаем готовиться к ЕГЭ по математике. Учимся решать задания части С.

При каких действительных значениях параметра a система

\begin{cases} 3|x|+2|y|=12 & &x^2 +y^2=a^2 \end{cases}

имеет наибольшее число решений? Читать далее

C4 (№18), досрочный ЕГЭ 2013

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Видеоразбор части С

 

Здесь смотрим разбор С2(№16), С5(№20) из досрочного ЕГЭ по математике за 2013 г.

Многовариантная задача С4:

Окружность радиуса 6\sqrt 2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите МN. Читать далее

ЕГЭ, С2 (№16). Угол между плоскостями в призме

2015-09-04

Видеоразбор 

Задача С2 (в новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №14») 

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны основания равны 1 , а боковые ребра равны 5. На ребре AA_1 отмечена точка E так, что AE:EA_1=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED_1. Читать далее

с2 (№16), досрочный егэ 2013

2015-09-04

Видеоразбор части С

 

Здесь смотрим разбор С4(№18), С5(№20) из досрочного ЕГЭ по математике за 2013 г.

А сейчас разбираем стереометрическую задачу С2 (в новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №14») из досрочного ЕГЭ. Читать далее