Обобщеннный метод интервалов. Часть 3

2016-07-12

Продолжение

Ранее мы рассмотрели как работает метод интервалов при решении рациональных (часть 1) и дробно-рациональных неравенств (часть 2).

 Будем рассматривать неравенства вида f(x)\vee 0, где \vee  - один из знаков >,\;\geq,\;<,\;\leq, а f(x) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. И вот здесь самое время применить обобщенный метод интервалов.

Наши действия будут такими:

1) Находим область определения f(x)

2) Находим нули f(x)

3) Определяем знаки f(x) на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции),  подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку.

4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f(x) имеет соответствующий знак.

Если же перед нами неравенство \frac{f(x)}{g(x)}\vee 0, где f(x),\;g(x) -  логарифмические, показательные, иррациональные или тригонометрические функции, то мы будем переходить к неравенству: f(x)\cdot g(x)\vee 0, при условии, что g(x)\neq 0

Пример 1. 

Решить неравенство: \sqrt{x^2-3x}<5-x

Решение:

Рассмотрим функцию f(x)=\sqrt{x^2-3x}-5+x.

Найдем ОДЗ данной функции:

x^2-3x\geq 0

x(x-3)\geq 0

x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)

Найдем нули функции, решив уравнение: \sqrt{x^2-3x}=5-x

Из данного уравнения следует:

x^2-3x=25-10x+x^2

7x=25

x=3\frac{4}{7}

Рассмотрим знаки функции на образовавшихся промежутках (-\infty;0),\;(3;3\frac{4}{7}),\;(3\frac{4}{7};+\infty):

Находим знак на крайнем правом промежутке:

f(4)=\sqrt{4^2-3\cdot4}-5+4=1>0

Определяем знак на  (3;3\frac{4}{7}):

f(3,5)=\sqrt{3,5^2-3\cdot3,5}-5+3,5=\sqrt{\frac{49-42}{4}}-1,5=\frac{\sqrt7-3}{2}<0

Определяем знак на (-\infty;0):

f(-1)=\sqrt{1+3}-5+1<0

Ответ: (-\infty;0]\cup[3;3\frac{4}{7}]

 

Пример 2. 

Решить неравенство:\frac{x^2-4}{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)}<0

Решение:

Перейдем к  равносильному неравенству:

 (x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1))<0

Рассмотрим функцию f(x)=(x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)).

ОДЗ данной функции: x^2-1>0, то есть (x-1)(x+1)>0

Нули функции:

(x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1))=0.

Из равенства следует:

x^2-4=0,\;x^2-1=1

x=\pm 2,\;x=\pm\sqrt2

Образовались следующие промежутки:

(-\infty;-2),\;(-2;-\sqrt2),\;(-\sqrt2;-1),\;(1;\sqrt2),\;(\sqrt2;2),\;(2;+\infty).

Заметим, функция f(x) – четная, поэтому нам достаточно определить знаки лишь на правой, например, половине рассматриваемых промежутков.

Определяем знак на (2;+\infty):

f(5)=(5^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(5^2-1))=21(\log_{\frac{1}{2}}24)<0

Определяем знак на (\sqrt2;2):

f(1,9)=(1,9^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(1,9^2-1))=-0,39(\log_{\frac{1}{2}}2,61)>0

Определяем знак на (1;\sqrt2):

f(1,1)=(1,1^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(1,1^2-1))=-2,79(\log_{\frac{1}{2}}0,21)<0

Ответ: (-\infty;-2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup(2;+\infty)

Пример 3.

Решить неравенство: (2^{\frac{x-4}{2}}-1)\sqrt{2^x-10\sqrt{2^x}+16}\geq 0

Решение:

Рассмотрим функцию f(x)=(2^{\frac{x-4}{2}}-1)\sqrt{2^x-10\sqrt{2^x}+16}.

ОДЗ данной функции: 2^x-10\sqrt{2^x}+16\geq 0

Мы видим квадратное неравенство относительно \sqrt{2^x}:

(\sqrt{2^x})^2-10\sqrt{2^x}+16\geq 0

Раскладываем на множители, найдя предварительно дискриминант:

(\sqrt{2^x}-8)(\sqrt{2^x}-2)\geq 0

Имеем: \sqrt{2^x}\leq 2 или \sqrt{2^x}\geq 8

Значит: 2^x\leq 4 или 2^x\geq 64

x\leq 2 или x\geq 6

Найдем нули функции:

(2^{\frac{x-4}{2}}-1)\sqrt{2^x-10\sqrt{2^x}+16}=0

Откуда следует: 2^{\frac{x-4}{2}}-1=0 или 2^x-10\sqrt{2^x}+16=0

Стало быть, x=4 или x=2 или x=6

Корень 4 выпадает из ОДЗ.

Будем рассматривать знаки функции f(x)  на следующих промежутках:

(-\infty;2),\;(6;\infty)

Определяем знак на (6;\infty):

f(8)=(2^{\frac{8-4}{2}}-1)\sqrt{...}>0

Определяем знак на (-\infty;2):

f(1)=(2^{\frac{1-4}{2}}-1)\sqrt{...}<0

Ответ: {2}\cup[6;+\infty)

Надо сказать, что у обобщенного метода интервалов есть свои минусы. Потому что не всегда удобно определять знаки на промежутках, тем более когда они малы, когда на них нет целых значений.

Попробуйте, вот например, решить обобщенным методом интервалов следующее неравенство:

\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4

Вы столкнетесь с трудностями при определении знаков вот на таких промежутках:

(3;\frac{5+\sqrt7}{2}),\;(\frac{5+\sqrt7}{2};\;4),\;(4;4,5),\;(4,5;+\infty).

Не из приятных занятие, правда? Поэтому, конечно, метод интервалов здесь неоправдан. Советую решить данное неравенство методом рационализации.

Да и еще, надеюсь вы понимаете, что \log_{x-3}(x^2-4x)^2  не есть 2\log_{x-3}(x^2-4x)? В данном случае \log_{x-3}(x^2-4x)^2=2\log_{x-3}|x^2-4x|. Поэтому, подумайте, нужно ли понижать степень в подлогарифмном выражении…

Да, ответ такой: (3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5] (лучше порешать самостоятельно, но если что, – смотрим решение здесь).

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif