Метод интервалов для целых рациональных неравенств. Часть 1

2015-08-20

 

 

Чтобы оценить все могущество метода интервалов, давайте сначала решим несложное неравенство так, как если бы мы его решали, не зная метода интервалов. + показать

Метод интервалов для рациональных неравенств

 

Метод интервалов выручит! Избавит нас от рутины!

Мы ведь понимаем, что любое число – либо отрицательное (-), либо положительное (+), либо ноль.  Где «переход» из одной зоны (+или – ) в другую (- или +)? В нуле!

               

На рисунке 1 функция обращается в нуль в точках -2; 1; 5  и 7. Именно при переходе через них она и меняет свой знак с одного на другой.

Функция может также коснуться оси (ох), и «не перескочить» в другую зону (как на рисунке 2). В данном случае  точка x=-2 – корень четной кратности (мы еще поговорим об этом).

В любом случае, если функция попала из одной «зоны» («+,-») в другую («-,+»), – значит она в какой-то точке должна  была обратиться в ноль.

Поэтому-то нули функции и помогут нам!

Итак, давайте выработаем алгоритм, которого будем придерживаться при решении рациональных неравенств.

Алгоритм решения рациональных неравенств

 

Пусть нам дано неравенство вида f(x)\vee0, где \vee – один из знаков <,\leq,>,\geq.

1. Раскладываем f(x) на множители (если это возможно*).

2. Находим нули f(x).

3. Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания.  Эти числа разбивают числовую ось на  интервалы. На каждом из этих интервалов  выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень – четной кратности, например, в неравенстве x^3(x-1)^4<0     x=1 – корень четной кратности, корень x=0 – обычный).

4. Расставляем  знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Советую брать «миллиончик» – не промахнетесь (шучу). Нам не важно само значение функции в выбранной точке, но только ЗНАК в ней, поэтому не утруждайте себя подсчетами  – только грубая прикидка.

5. Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ. Например, если неравенство со знаком «>», то берем интервалы со знаком «+», если неравенство со знаком «<», то берем интервалы со знаком «-», если неравенство со знаком \leq(\geq), то берем промежутки со знаком «+» («-») c закрытыми концами.

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: (2-x)(x^2-9)<0

Решение: + показать

Пример 2.

Решить неравенство: x^2+2x+3>0

Решение: + показать

 

Пример 3.

Решить неравенство: (x^3-27)(x+5)^2\geq 0

Решение: + показать

Пример 4.

Решить неравенство: (x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)\leq 0

Решение: + показать

Пример 5.

Решить неравенство: (x^2-x-1)(x^2-x-7)<-5

Решение: + показать

 

 

Пример 6.

Решить неравенство: (|x|-3)(|x|-7)>0.

Решение: + показать

 

Здесь предлагаю ознакомиться с решением дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Вы можете пройти тест  тест по теме «Метод интервалов для рациональных неравенств»

 

 

 

Печать страницы
Комментариев: 11
  1. Анатолий Шевелев

    в самом последнем примере не могу понять логику решения, почему мы выбрали именно такой интервал? Как модуль влияет на решение? объясните пожалуйста…

    [ Ответить ]
    • Анатолий Шевелев

      Вопрос закрывается, я разобрался :)

      [ Ответить ]
  2. том

    Добавьте, пожалуйста, на сайт алгоритм решения систем уравнений с параметром.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ээээ… Тут как бы нет единого алгоритма… Слишком много разных путей решения… Их тоже, конечно, можно в определенную систему уложить… но это долгий разговор… Может быть, когда-нибудь… :)

      [ Ответить ]
  3. Владислав

    почему в первом примере в самом начале знак > меняется на знак <?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из-за опечатки ;) . Спасибо. Исправлено.

      [ Ответить ]
  4. Людмила

    Здравствуйте, скажите ,пожалуйста,кратность корней при решении неравенств всегда суммируется? В случае логарифмических, когда корень получается и в основании и в подлогарифмическом выражении

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Извините, я не поняла вашего вопроса.

      [ Ответить ]
      • Людмила

        В дробно-рациональных неравенствах, если к примеру х=2 в числителе второй кратности и х=2 в знаменателе 1 кратности, то х=2 имеет кратность 3. и функция меняет знак при переходе через него. Если обобщать- то к примеру, в логарифмическом х=2 это нуль функции и х не равно 2 по условиям ОДЗ в основании логарифма. при переходе через 2 , знак не меняется ( просчитала). То есть кратность тоже складывается?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Я бы не сказала, что кратности складываются.. Просто, например, неравенство \frac{(x+2)^2(x-1)}{(x+2)}<0 равносильно неравенству (x+2)(x+1)<0. Произошло сокращение…
          Можете и складывать, конечно…

          [ Ответить ]
  5. Людмила

    Ну, сокращается в дробно-рациональных неравенствах, а в смешанных, где обобщенный метод интервалов, и не очень хочется просчитывать какие-нибудь”СТРАШНЫЕ” логарифмы… вроде как кратность корней могла бы очень помочь. Ну судя по всему, все-таки складываются…

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif