Главная › Рациональные выражения, уравнения и неравенства › Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

12 Окт 2013

Категория: Рациональные выражения, уравнения и неравенства

Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

Елена Репина 2013-10-12 2019-08-12

Рассмотрим ряд сложных рациональных уравнений, которые сводятся к решению простейших уравнений при помощи метода замены переменной.

Задача 1.

Решить уравнение: $(x^2+x)^2-8x^2-8x+12=0.$

Решение: + показать

Задача 2.

Решить уравнение: $\frac{2x-1}{x}+\frac{4x}{2x-1}=5.$

Решение: + показать

Задача 3.

Решить уравнение: $7(x+\frac{1}{x})+2(x^2+\frac{1}{x^2})+9=0.$

Решение: + показать

Задача 4.

Решить уравнение: $\frac{4}{9x^2-9x+2}-\frac{8}{9x^2-9x+8}=1$ .

Решение: + показать

Задача 5.

Решить уравнение: $\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1.$

Решение: + показать

Задача 6.

Решить уравнение: $(x^2-3x+5)^4-10x^2(x^2-3x+5)^2+9x^4=0.$

Решение: + показать

Задача 7.

Решить уравнение: $x^2(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)=24.$

Решение: + показать

Задача 8.

Решить уравнение: $\frac{2x}{4x^2+3x+8}+\frac{3x}{4x^2-6x+8}=\frac{1}{6}.$

Решение: + показать

Задача 9.

Решить уравнение: $(x-1)^3+\frac{27}{x^2}(x-1)+27=\frac{9}{x}(x-1)^2+\frac{27}{x^3}.$

Решение: + показать

Задача 10.

Решить уравнение: $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5.$

Решение: + показать

Задача 11.

Решить уравнение: $(x+3)^4+(x+1)^4=20.$

Решение: + показать

Задача 12.

Решить уравнение: $\frac{x+4}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=\frac{x+8}{x-2}+\frac{x-8}{x+2}-\frac{8}{3}.$

Решение: + показать

Предлагаю задания для самостоятельной работы:

1. $(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0;$

Ответ: + показать

2. $\frac{x^4}{(2x+3)^2}-\frac{2x^2}{2x+3}+1=0;$

Ответ: + показать

3. $\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2;$

Ответ: + показать

4. $\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12};$

Ответ: + показать

5. $x(x+1)(x+5)(x+6)+96=0;$

Ответ: + показать

6. $4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x^2=0;$

Ответ: + показать

7. $2(\frac{2}{x}-\frac{x}{3})=\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{18}+\frac{4}{3};$

Ответ: + показать

8. $\frac{2x}{x^2-4x+2}+\frac{3x}{x^2+x+2}=-\frac{5}{4};$

Ответ: + показать

9. $x^2+(\frac{x}{2x-1})^2=2;$

Ответ: + показать

10. $(x+1)^4+(x+5)^4=32;$

Ответ: + показать

11. $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4;$

Ответ: + показать

Автор: egeMax | комментарий 21

Печать страницы

комментарий 21

Gulkaiyr

2015-05-10 в 16:17

Спасибо,очень хороший материал.

[ Ответить ]
Семен

2015-08-20 в 08:30

Здравствуйте! Я решал 6-ой номер, и у меня получилось после вынесения x, сокращения и замены x + 60/x на t такое уравнение 4t^2 + 132t + 1085 = 0. Корни: 31/4 и 35/4. После подстановки в x + 60/x = t получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в обоих случаях.

Подскажите, это я ошибаюсь или в самом уравнении ошибка?

Заранее спасибо! :)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-08-20 в 09:16
  
  Семен, у вас ошибочны корни уравнения $4t^2+132t+1085=0$ (само уравнение верное). Корни должны быть $-\frac{31}{2}$ и $-\frac{35}{2}.$
  
  [ Ответить ]
  - Семен
    
    2015-08-20 в 09:23
    
    Да, точно! Я идею решения понимаю сразу, а вот из-за таких глупых ошибок решаю долго… Спасибо, Вам!
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-08-20 в 09:24
      
      Бывает… :)
      
      [ Ответить ]
Наталья

2015-11-01 в 11:00

Здравствуйте!
В примере номер три похоже закралась опечатка: должно быть квадратное уравнение x^2+2,5x+1=0. А дальше правильно.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-02 в 22:06
  
  Наталья, спасибо!
  
  [ Ответить ]
Андрей

2015-11-22 в 09:50

ПОДСКАЖИТЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4 ДЛЯ САМ РАБОТЫ

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-22 в 09:51
  
  Раскройте скобки, увидите тогда что обозначать за новую переменную.
  
  [ Ответить ]
Андрей

2015-11-22 в 09:51

подскажите решение номера 4 для сам.работы

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-22 в 09:53
  
  Да подсказала уже))
  
  [ Ответить ]
Насвай

2015-12-14 в 19:39

Напишите решение первого, пожалуйста

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-12-14 в 19:57
  
  Принимайте $x^2+3x+1$ за $t$ , сделайте замену…
  Начните…
  
  [ Ответить ]
WhatDoesItMeanToBeManly

2016-03-27 в 22:03

В 3 задаче буквально на последней строчке ошибка. Ответ -1 и -4.
Сижу я тут и удивляюсь таким простым решениям. Вы действительно видите, где можно что-то подправить, чтобы все красиво решить заменой? Я вот никак такого не замечаю :с

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-27 в 22:18
  
  А я не увидела ошибки в 3-м примере… :о
  Я благодарна вам за указывание на ошибки!
  
  [ Ответить ]
  - WhatDoesItMeanToBeManly
    
    2016-03-27 в 22:47
    
    Нууу, или по невнимательности допустить небольшую ошибку в ответе, или по ограниченности ума к нему даже не приблизиться…
    Да совсем не сложно отписывать я об ошибках, я их и сам раз в 10 больше делаю, когда решаю х)
    Мне интересно есть ли такая страница, где можно найтиссылки прям на ВСЕ публикации, какие только существуют? Боюсь что-то упустить.
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-03-28 в 14:46
      
      Неужели я в этот раз вас «поймаю», мой доброжелатель?))
      Как зовут-то, – Дмитрий?
      Все публикации можно посмотреть в сайдбаре “Архив” справа (ближе к низу).
      А в примере 3 здесь яне нашла ошибки…
      
      [ Ответить ]
      - WhatDoesItMeanToBeManly
        
        2016-03-28 в 17:21
        
        Поймали, тупанул х) Ага, Дима.
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-03-28 в 21:07
        
        Да, не… Поймать хотела не за ошибку))) Что вы…
        А поймать в диалоге… А то ускользаете… – не могу сказать спасибо))
        
        [ Ответить ]
Бубуб

2020-10-02 в 00:05

Как решить 11?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2020-10-02 в 09:46
  
  Как 12
  
  [ Ответить ]

Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.

Задача 8.

Задача 9.

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Добавить комментарий Отменить ответ