Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

2023-08-03

Рассмотрим ряд сложных рациональных уравнений, которые сводятся к решению простейших уравнений при помощи метода замены переменной.

Задача 1

Решить уравнение: $(x^2+x)^2-8x^2-8x+12=0.$

Решение: + показать

Задача 2

Решить уравнение: $\frac{2x-1}{x}+\frac{4x}{2x-1}=5.$

Решение: + показать

Задача 3

Решить уравнение: $7(x+\frac{1}{x})+2(x^2+\frac{1}{x^2})+9=0.$

Решение: + показать

Задача 4

Решить уравнение: $\frac{4}{9x^2-9x+2}-\frac{8}{9x^2-9x+8}=1$.

Решение: + показать

Задача 5

Решить уравнение: $\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1.$

Решение: + показать

Задача 6

Решить уравнение: $(x^2-3x+5)^4-10x^2(x^2-3x+5)^2+9x^4=0.$

Решение: + показать

Задача 7

Решить уравнение: $x^2(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)=24.$

Решение: + показать

Задача 8

Решить уравнение: $\frac{2x}{4x^2+3x+8}+\frac{3x}{4x^2-6x+8}=\frac{1}{6}.$

Решение: + показать

Задача 9

Решить уравнение: $(x-1)^3+\frac{27}{x^2}(x-1)+27=\frac{9}{x}(x-1)^2+\frac{27}{x^3}.$

Решение: + показать

Задача 10

Решить уравнение: $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5.$

Решение: + показать

Задача 11

Решить уравнение: $(x+3)^4+(x+1)^4=20.$

Решение: + показать

Задача 12

Решить уравнение: $\frac{x+4}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=\frac{x+8}{x-2}+\frac{x-8}{x+2}-\frac{8}{3}.$

Решение: + показать

Задания для самостоятельной работы:

1. $(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0;$

Ответ: + показать

2. $\frac{x^4}{(2x+3)^2}-\frac{2x^2}{2x+3}+1=0;$

Ответ: + показать

3. $\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2;$

Ответ: + показать

4. $\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12};$

Ответ: + показать

5. $x(x+1)(x+5)(x+6)+96=0;$

Ответ: + показать

6. $4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x^2=0;$

Ответ: + показать

7. $2(\frac{2}{x}-\frac{x}{3})=\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{18}+\frac{4}{3};$

Ответ: + показать

8. $\frac{2x}{x^2-4x+2}+\frac{3x}{x^2+x+2}=-\frac{5}{4};$

Ответ: + показать

9. $x^2+(\frac{x}{2x-1})^2=2;$

Ответ: + показать

10. $(x+1)^4+(x+5)^4=32;$

Ответ: + показать

11. $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4;$

Ответ: + показать

Печать страницы
комментарий 21
  1. Gulkaiyr

    Спасибо,очень хороший материал.

    [ Ответить ]
  2. Семен

    Здравствуйте! Я решал 6-ой номер, и у меня получилось после вынесения x, сокращения и замены x + 60/x на t такое уравнение 4t^2 + 132t + 1085 = 0. Корни: 31/4 и 35/4. После подстановки в x + 60/x = t получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в обоих случаях.

    Подскажите, это я ошибаюсь или в самом уравнении ошибка?

    Заранее спасибо! :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Семен, у вас ошибочны корни уравнения [latexpage]$4t^2+132t+1085=0$ (само уравнение верное). Корни должны быть $-\frac{31}{2}$ и $-\frac{35}{2}.$

      [ Ответить ]
      • Семен

        Да, точно! Я идею решения понимаю сразу, а вот из-за таких глупых ошибок решаю долго… Спасибо, Вам!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Бывает… :)

          [ Ответить ]
  3. Наталья

    Здравствуйте!
    В примере номер три похоже закралась опечатка: должно быть квадратное уравнение x^2+2,5x+1=0. А дальше правильно.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, спасибо!

      [ Ответить ]
  4. Андрей

    ПОДСКАЖИТЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4 ДЛЯ САМ РАБОТЫ

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Раскройте скобки, увидите тогда что обозначать за новую переменную.

      [ Ответить ]
  5. Андрей

    подскажите решение номера 4 для сам.работы

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да подсказала уже))

      [ Ответить ]
  6. Насвай

    Напишите решение первого, пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Принимайте [latexpage] $x^2+3x+1$ за $t$, сделайте замену…
      Начните…

      [ Ответить ]
  7. WhatDoesItMeanToBeManly

    В 3 задаче буквально на последней строчке ошибка. Ответ -1 и -4.
    Сижу я тут и удивляюсь таким простым решениям. Вы действительно видите, где можно что-то подправить, чтобы все красиво решить заменой? Я вот никак такого не замечаю :с

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А я не увидела ошибки в 3-м примере… :о
      Я благодарна вам за указывание на ошибки!

      [ Ответить ]
      • WhatDoesItMeanToBeManly

        Нууу, или по невнимательности допустить небольшую ошибку в ответе, или по ограниченности ума к нему даже не приблизиться…
        Да совсем не сложно отписывать я об ошибках, я их и сам раз в 10 больше делаю, когда решаю х)
        Мне интересно есть ли такая страница, где можно найтиссылки прям на ВСЕ публикации, какие только существуют? Боюсь что-то упустить.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Неужели я в этот раз вас «поймаю», мой доброжелатель?))
          Как зовут-то, – Дмитрий?
          Все публикации можно посмотреть в сайдбаре “Архив” справа (ближе к низу).
          А в примере 3 здесь яне нашла ошибки…

          [ Ответить ]
          • WhatDoesItMeanToBeManly

            Поймали, тупанул х) Ага, Дима.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, не… Поймать хотела не за ошибку))) Что вы…
            А поймать в диалоге… А то ускользаете… – не могу сказать спасибо))

            [ Ответить ]
  8. Бубуб

    Как решить 11?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Как 12

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




19 + 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif