Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

Перепишем уравнение следующим образом:

$7(x+\frac{1}{x})+2(x^2+$ $\color{red}2x\cdot \frac{1}{x}$ $+\frac{1}{x^2}$ $\color{red}-2$ $)+9=0;$

$7(x+\frac{1}{x})+2((x+\frac{1}{x})^2-2)+9=0;$

Имеем квадратное уравнение относительно $x+\frac{1}{x}.$ (Не будем делать замену  переменной (см. второй вариант оформления задачи 1)).

$2(x+\frac{1}{x})^2+7(x+\frac{1}{x})+5=0;$

$x+\frac{1}{x}=\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{2\cdot 2};$

$x+\frac{1}{x}=\frac{-7\pm 3}{4};$

$\left[\begin{array}{rcl}x+\frac{1}{x}=-1,\\x+\frac{1}{x}=-2,5;\end{array}\right.$

Первое уравнение не имеет корней.

$x^2+2,5x+1=0;$

$x=\frac{-2,5\pm \sqrt{\frac{25}{4}-4}}{2};$

$x=\frac{-2,5\pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2};$

$x=\frac{-2,5\pm 1,5}{2};$

$\left[\begin{array}{rcl}x=-2,\\x=-0,5;\end{array}\right.$

Ответ: $-2; -0,5.$ 

Замена переменной: $9x^2-9x+2=t$, тогда $9x^2-9x+8=t+6.$

Имеем:

$\frac{4}{t}-\frac{8}{t+6}=1;$

Домножаем обе части равенства на $t(t+6):$

$4(t+6)-8t=t(t+6),\;t\neq 0,\;t\neq -6;$

$t^2+10t-24=0,\;t\neq 0,\;t\neq -6;$

$t=-5\pm \sqrt{25+24};$

$\left[\begin{array}{rcl}t=-12,\\t=2.\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}x^2-9x+14=0,\\9x^2-9x=0;\end{array}\right.$

Первое уравнение совокупности не имеет решений. Решаем второе уравнение:

$9x(x-1)=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\x=1;\end{array}\right.$

Ответ: $0; 1.$

Замена: $x^2-x=t.$

$\frac{t}{t+1}-\frac{t+2}{t-2}=1;$

$t(t-2)-(t+1)(t+2)=(t+1)(t-2),\;t\neq -1,\;t\neq 2;$

$t^2-2t-t^2-3t-2=t^2-t-2,\;t\neq -1,\;t\neq 2;$

$t^2+4t=0,\;t\neq -1,\;t\neq 2;$

$\left[\begin{array}{rcl}t=0,\\t=-4;\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}x^2-x=0,\\x^2-x=-4;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\x=1;\end{array}\right.$

Ответ: $0; 1.$

Разделим обе части уравнения на $x^4$(заметим, $x^4\neq 0$):

$\frac{(x^2-3x+5)^4}{x^4}-\frac{10x^2(x^2-3x+5)^2}{x^4}+9=0;$

$(\frac{x^2-3x+5}{x})^4-10(\frac{x^2-3x+5}{x})^2+9=0;$

Напрашивается замена: $\frac{x^2-3x+5}{x}=t.$

$t^4-10t^2+9=0;$

$t^2=5\pm \sqrt{5^2-9};$

$\left[\begin{array}{rcl}t^2=9\\t^2=1;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}t=\pm 3\\t=\pm 1.\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}x^2-3x+5=\pm 3\\x^2-3x+5=\pm 1.\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x^2+5=0,\\x^2-6x+5=0,\\x^2-2x+5=0,\\x^2-4x+5=0 ;\end{array}\right.$

Данная совокупность равносильна следующему уравнению (только второе уравнение имеет корни):

$x^2-6x+5=0;$

$x=3\pm \sqrt{9-5};$

$\left[\begin{array}{rcl}x=1,\\x=5.\end{array}\right.$

Ответ: $1; 5.$ 

Перемножим первую скобку и последнюю, вторую и третью:

$(x^4-3x^2)(x^4-3x^2+2)=24;$

Напрашивается замена: $x^4-3x^2=t.$

$t(t+2)=24;$

$t^2+2t-24=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}t=4,\\t=-6;\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}x^4-3x^2=4,\\x^4-3x^2=-6;\end{array}\right.$

Совокупность равносильна уравнению:

$x^4-3x^2-4=0;$

$x^2=4.$

Откуда

$x=\pm 2.$

Ответ: $-2; 2.$ 

Заметим, $x=0$ не является корнем уравнения, поэтому разделим числитель и знаменатель каждой дроби из левой части уравнения на $x$:

$\frac{2}{4x+3+\frac{8}{x}}+\frac{3}{4x-6+\frac{8}{x}}=\frac{1}{6};$

Замена: $4x+\frac{8}{x}=t.$

$\frac{2}{t+3}+\frac{3}{t-6}=\frac{1}{6};$

Домножаем обе части уравнения на $6(t+3)(t-6):$

$12(t-6)+18(t+3)=(t+3)(t-6),\;t\neq -3,\;t\neq 6;$

$12t-72+18t+54=t^2-3t-18,\;t\neq -3,\;t\neq 6;$

$t^2-33t=0,\;t\neq -3,\;t\neq 6;$

$\left[\begin{array}{rcl}t=0,\\t=33;\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}4x+\frac{8}{x}=0,\\4x+\frac{8}{x}=33;\end{array}\right.$

Совокупность равносильна уравнению:

$4x+\frac{8}{x}=33;$

$4x^2-33x+8=0;$

$x=\frac{33\pm \sqrt{33^2-128}}{8};$

$x=\frac{33\pm 31}{8};$

$\left[\begin{array}{rcl}x=8,\\x=0,25;\end{array}\right.$

Ответ: $0,25; 8.$ 

Перепишем уравнение следующим образом:

$(x-1)^3-3\cdot \frac{3}{x}(x-1)^2+3\cdot \frac{9}{x^2}(x-1)-\frac{27}{x^3}=-27;$

Замечаем, что первые четыре слагаемые можно свернуть в куб разности:

$((x-1)-\frac{3}{x})^3=-27;$

$((x-1)-\frac{3}{x})^3=-3^3;$

$(x-1-\frac{3}{x})=-3;$

$x^2+3x+2=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}x=-2,\\x=-1;\end{array}\right.$

Ответ: $-2; -1.$

Прибавим к обеим частям равенства $-\frac{4x^2}{x+2}:$

$x^2-2\cdot x\cdot \frac{2x}{x+2}+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5-\frac{4x^2}{x+2};$

Тогда левую часть уравнения можно свернуть в квадрат разности:

$(x-\frac{2x}{x+2})^2=5-\frac{4x^2}{x+2};$

$(\frac{x^2}{x+2})^2=\frac{5(x+2)-4x^2}{x+2};$

$(\frac{x^2}{x+2})^2=5-\frac{4x^2}{x+2};$

Замена: $\frac{x^2}{x+2}=t.$

$t^2=5-4t;$

$t^2+4t-5=0;$

$t=-2\pm 3;$

$\left[\begin{array}{rcl}t=-5,\\t=1;\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}\frac{x^2}{x+2}=-5,\\\frac{x^2}{x+2}=1;\end{array}\right.$

Откуда

$x^2-x-2=0,\;x\neq -2;$

$x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2};$

$\left[\begin{array}{rcl}x=2,\\x=-1;\end{array}\right.$

Ответ: $-1; 2.$ 

Замена:

Пусть $x+2=t$.

Тогда

$(t+1)^4+(t-1)^4=20;$

$t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=20;$

$2t^4+12t^2-18=0;$

$t^2=\frac{-6\pm \sqrt{72}}{2};$

$t^2=-3+3\sqrt2$  или  $t^2=-3-3\sqrt2.$

Откуда

$t^2=3\sqrt2-3;$

$t=\pm \sqrt{3\sqrt2-3};$

Обратная замена:

$x=-2\pm \sqrt{3\sqrt2-3}.$

Ответ: $-2\pm \sqrt{3\sqrt2-3}.$ 

$\frac{x-1+5}{x-1}+\frac{x+1-5}{x+1}=\frac{x-2+10}{x-2}+\frac{x+2-10}{x+2}-\frac{8}{3};$

$1+\frac{5}{x-1}+1-\frac{5}{x+1}=1+\frac{10}{x-2}+1-\frac{10}{x+2}-\frac{8}{3};$

$\frac{5}{x-1}-\frac{5}{x+1}=\frac{10}{x-2}-\frac{10}{x+2}-\frac{8}{3};$

$\frac{10}{(x-1)(x+1)}=\frac{40}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{3};$

$\frac{5}{x^2-1}=\frac{20}{x^2-4}-\frac{4}{3};$

Замена: $x^2-1=t.$

$\frac{5}{t}=\frac{20}{t-3}-\frac{4}{3};$

$\frac{5t-15-20t}{t^2-3t}=-\frac{4}{3};$

$-\frac{15t+15}{t^2-3t}=-\frac{4}{3};$

$3(15t+15)=4(t^2-3t),\;t\neq 0,\;t\neq 3;$

$45t+45=4t^2-12t,\;t\neq 0,\;t\neq 3;$

$4t^2-57t-45=0,\;t\neq 0,\;t\neq 3;$

$t=\frac{57\pm \sqrt{57^2+16\cdot 45}}{8};$

$t=\frac{57\pm 63}{8};$

$\left[\begin{array}{rcl}t=-\frac{3}{4},\\t=15;\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}x^2-1=-\frac{3}{4},\\x^2-1=15;\end{array}\right.$

Откуда

$\left[\begin{array}{rcl}x=0,5,\\x=4;\end{array}\right.$

Ответ: $\pm 4;\; \pm 0,5.$