Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

2015-11-02

Рассмотрим ряд сложных рациональных уравнений, которые сводятся к решению простейших уравнений при помощи метода замены переменной.

Задача 1.

Решить уравнение: (x^2+x)^2-8x^2-8x+12=0.

Решение:

Замечаем, что уравнение можно переписать следующим образом:

 (x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0;

Напрашивается замена: t=x^2+x.

Тогда имеем:

t^2-8t+12=0;

t=4\pm \sqrt{16-12};

\left[\begin{gathered}t=2, &t=6; \end{gathered}\right

Тогда обратная замена:

\left[\begin{gathered}x^2+x=2, &x^2+x=6; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2+x-2=0, &x^2+x-6=0; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x=-2, &x=1; &x=-3, &x=2; \end{gathered}\right

Ответ: -3; -2; 1; 2.

Можно было бы оформить решение и так, чуть короче:

+ показать

Задача 2.

Решить уравнение: \frac{2x-1}{x}+\frac{4x}{2x-1}=5.

Решение:

Перепишем уравнение следующим образом:

\frac{2x-1}{x}+\frac{4}{\frac{2x-1}{x}}=5;

Тогда напрашивается замена: t=\frac{2x-1}{x}.

Имеем:

t+\frac{4}{t}=5;

t^2-5t+4=0;

t=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2};

\left[\begin{gathered}t=4, &t=1; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}\frac{2x-1}{x}=4, &\frac{2x-1}{x}=1; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}2x-1=4x, &2x-1=x; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x=-0,5, &x=1; \end{gathered}\right

Ответ: -0,5; 1.

Задача 3.

Решить уравнение: 7(x+\frac{1}{x})+2(x^2+\frac{1}{x^2})+9=0.

Решение:

Перепишем уравнение следующим образом:

7(x+\frac{1}{x})+2(x^2+ 2x\cdot \frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} -2 )+9=0;

7(x+\frac{1}{x})+2((x+\frac{1}{x})^2-2)+9=0;

Имеем квадратное уравнение относительно x+\frac{1}{x}. (Не будем делать замену  переменной (см. второй вариант оформления задачи 1)).

2(x+\frac{1}{x})^2+7(x+\frac{1}{x})+5=0;

x+\frac{1}{x}=\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{2\cdot 2};

x+\frac{1}{x}=\frac{-7\pm 3}{4};

\left[\begin{gathered}x+\frac{1}{x}=-1, &x+\frac{1}{x}=-2,5; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2+x+1=0, &x^2+2,5x+1=0; \end{gathered}\right

Первое уравнение не имеет корней.

x^2+2,5x+1=0;

x=\frac{-2,5\pm \sqrt{\frac{25}{4}-4}}{2};

x=\frac{-2,5\pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2};

x=\frac{-2,5\pm 1,5}{2};

\left[\begin{gathered}x=-2, &x=-0,5; \end{gathered}\right

Ответ: -2; -0,5.

 

Задача 4.

Решить уравнение: \frac{4}{9x^2-9x+2}-\frac{8}{9x^2-9x+8}=1.

Решение:

Замена переменной: 9x^2-9x+2=t, тогда 9x^2-9x+8=t+6.

Имеем:

\frac{4}{t}-\frac{8}{t+6}=1;

Домножаем обе части равенства на t(t+6):

4(t+6)-8t=t(t+6),\;t\neq 0,\;t\neq -6;

t^2+10t-24=0,\;t\neq 0,\;t\neq -6;

t=-5\pm \sqrt{25+24};

\left[\begin{gathered}t=-12, &t=2; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}9x^2-9x+2=-12, &9x^2-9x+2=2; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}9x^2-9x+14=0, &9x^2-9x=0; \end{gathered}\right

Первое уравнение совокупности не имеет решений. Решаем второе уравнение:

9x(x-1)=0;

\left[\begin{gathered}x=0, &x=1; \end{gathered}\right

Ответ: 0; 1.

Задача 5.

Решить уравнение: \frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1.

Решение:

Замена: x^2-x=t.

\frac{t}{t+1}-\frac{t+2}{t-2}=1;

t(t-2)-(t+1)(t+2)=(t+1)(t-2),\;t\neq -1,\;t\neq 2;

t^2-2t-t^2-3t-2=t^2-t-2,\;t\neq -1,\;t\neq 2;

t^2+4t=0,\;t\neq -1,\;t\neq 2;

\left[\begin{gathered}t=0, &t=-4; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}x^2-x=0, &x^2-x=-4; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2-x=0, &x^2-x+4=0; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x=0, &x=1; \end{gathered}\right

Ответ: 0; 1.

Задача 6.

Решить уравнение: (x^2-3x+5)^4-10x^2(x^2-3x+5)^2+9x^4=0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на x^4(заметим, x^4\neq 0):

\frac{(x^2-3x+5)^4}{x^4}-\frac{10x^2(x^2-3x+5)^2}{x^4}+9=0;

(\frac{x^2-3x+5}{x})^4-10(\frac{x^2-3x+5}{x})^2+9=0;

Напрашивается замена: \frac{x^2-3x+5}{x}=t.

t^4-10t^2+9=0;

t^2=5\pm \sqrt{5^2-9};

\left[\begin{gathered}t^2=9, &t^2=1; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}t=\pm 3, &t=\pm 1; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}\frac{x^2-3x+5}{x}=\pm 3, &\frac{x^2-3x+5}{x}=\pm 1; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2-3x+5=\pm 3x,\;x\neq 0 &x^2-3x+5=\pm x,\;x\neq 0; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2+5=0, &x^2-6x+5=0, &x^2-2x+5=0, &x^2-4x+5=0; \end{gathered}\right

Данная совокупность равносильна следующему уравнению (только второе уравнение имеет корни):

x^2-6x+5=0;

x=3\pm \sqrt{9-5};

\left[\begin{gathered}x=5, &x=1; \end{gathered}\right

Ответ: 1; 5.

Задача 7.

Решить уравнение: x^2(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)=24.

Решение:

Перемножим первую скобку и последнюю, вторую и третью:

(x^4-3x^2)(x^4-3x^2+2)=24;

Напрашивается замена: x^4-3x^2=t.

t(t+2)=24;

t^2+2t-24=0;

\left[\begin{gathered}t=4, &t=-6; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}x^4-3x^2=4, &x^4-3x^2=-6; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^4-3x^2-4=0, &x^4-3x^2+6=0; \end{gathered}\right

Совокупность равносильна уравнению:

x^4-3x^2-4=0;

\left[\begin{gathered}x^2=4, &x^2=-2; \end{gathered}\right

Откуда

x=\pm 2;

Ответ: -2; 2.

Задача 8.

Решить уравнение: \frac{2x}{4x^2+3x+8}+\frac{3x}{4x^2-6x+8}=\frac{1}{6}.

Решение:

Заметим, x=0 не является корнем уравнения, поэтому разделим числитель и знаменатель каждой дроби из левой части уравнения на x:

\frac{2}{4x+3+\frac{8}{x}}+\frac{3}{4x-6+\frac{8}{x}}=\frac{1}{6};

Замена: 4x+\frac{8}{x}=t.

\frac{2}{t+3}+\frac{3}{t-6}=\frac{1}{6};

Домножаем обе части уравнения на 6(t+3)(t-6):

12(t-6)+18(t+3)=(t+3)(t-6),\;t\neq -3,\;t\neq 6;

12t-72+18t+54=t^2-3t-18,\;t\neq -3,\;t\neq 6;

t^2-33t=0,\;t\neq -3,\;t\neq 6;

\left[\begin{gathered}t=0, &t=33; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}4x+\frac{8}{x}=0, &4x+\frac{8}{x}=33; \end{gathered}\right

Совокупность равносильна уравнению:

4x+\frac{8}{x}=33;

4x^2-33x+8=0;

x=\frac{33\pm \sqrt{33^2-128}}{8};

x=\frac{33\pm 31}{8};

\left[\begin{gathered}x=8, &x=0,25; \end{gathered}\right

Ответ: 0,25; 8.

Задача 9.

Решить уравнение: (x-1)^3+\frac{27}{x^2}(x-1)+27=\frac{9}{x}(x-1)^2+\frac{27}{x^3}.

Решение:

Перепишем уравнение следующим образом:

(x-1)^3-3\cdot \frac{3}{x}(x-1)^2+3\cdot \frac{9}{x^2}(x-1)-\frac{27}{x^3}=-27;

Замечаем, что первые четыре слагаемые можно свернуть в куб разности:

((x-1)-\frac{3}{x})^3=-27;

((x-1)-\frac{3}{x})^3=-3^3;

(x-1-\frac{3}{x})=-3;

x^2+3x+2=0;

\left[\begin{gathered}x=-2, &x=-1; \end{gathered}\right

Ответ: -2; -1.

Задача 10.

Решить уравнение: x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5.

Решение:

Прибавим к обеим частям равенства -\frac{4x^2}{x+2}:

x^2-2\cdot x\cdot \frac{2x}{x+2}+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5-\frac{4x^2}{x+2};

Тогда левую часть уравнения можно свернуть в квадрат разности:

(x-\frac{2x}{x+2})^2=5-\frac{4x^2}{x+2};

(\frac{x^2}{x+2})^2=\frac{5(x+2)-4x^2}{x+2};

(\frac{x^2}{x+2})^2=5-\frac{4x^2}{x+2};

Замена: \frac{x^2}{x+2}=t.

t^2=5-4t;

t^2+4t-5=0;

t=-2\pm 3;

\left[\begin{gathered}t=-5, &t=1; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}\frac{x^2}{x+2}=-5, &\frac{x^2}{x+2}=1; \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered}x^2+5x+10=0,\;x\neq -2, &x^2-x-2=0,\;x\neq -2; \end{gathered}\right

Откуда

x^2-x-2=0,\;x\neq -2;

x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2};

\left[\begin{gathered}x=2, &x=-1; \end{gathered}\right

Ответ: -1; 2.

Задача 11.

Решить уравнение: (x+3)^4+(x+1)^4=20.

Решение:

Замена:

Пусть x+2=t.

Тогда

(t+1)^4+(t-1)^4=20;

t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=20;

2t^4+12t^2-18=0;

t^2=\frac{-6\pm \sqrt{72}}{2};

\left[\begin{gathered}t^2=-3+3\sqrt2, &t^2=-3-3\sqrt2; \end{gathered}\right

Откуда

t^2=3\sqrt2-3;

t=\pm \sqrt{3\sqrt2-3};

Обратная замена:

x=-2\pm \sqrt{3\sqrt2-3}.

Ответ: -2\pm \sqrt{3\sqrt2-3}.

Задача 12.

Решить уравнение: \frac{x+4}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=\frac{x+8}{x-2}+\frac{x-8}{x+2}-\frac{8}{3}.

Решение:

\frac{x-1+5}{x-1}+\frac{x+1-5}{x+1}=\frac{x-2+10}{x-2}+\frac{x+2-10}{x+2}-\frac{8}{3};

1+\frac{5}{x-1}+1-\frac{5}{x+1}=1+\frac{10}{x-2}+1-\frac{10}{x+2}-\frac{8}{3};

\frac{5}{x-1}-\frac{5}{x+1}=\frac{10}{x-2}-\frac{10}{x+2}-\frac{8}{3};

\frac{10}{(x-1)(x+1)}=\frac{40}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{3};

\frac{5}{x^2-1}=\frac{20}{x^2-4}-\frac{4}{3};

Замена: x^2-1=t.

\frac{5}{t}=\frac{20}{t-3}-\frac{4}{3};

\frac{5t-15-20t}{t^2-3t}=-\frac{4}{3};

-\frac{15t+15}{t^2-3t}=-\frac{4}{3};

3(15t+15)=4(t^2-3t),\;t\neq 0,\;t\neq 3;

45t+45=4t^2-12t,\;t\neq 0,\;t\neq 3;

4t^2-57t-45=0,\;t\neq 0,\;t\neq 3;

t=\frac{57\pm \sqrt{57^2+16\cdot 45}}{8};

t=\frac{57\pm 63}{8};

\left[\begin{gathered}t=-\frac{3}{4}, &t=15; \end{gathered}\right

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}x^2-1=-\frac{3}{4}, &x^2-1=15; \end{gathered}\right

Откуда

\left[\begin{gathered}x=\pm 0,5, &x=\pm 4; \end{gathered}\right

Ответ: \pm 4;\; \pm 0,5.

Предлагаю задания для самостоятельной работы:

1. (x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0;

Ответ: + показать

2. \frac{x^4}{(2x+3)^2}-\frac{2x^2}{2x+3}+1=0;

Ответ: + показать

3. \frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2;

Ответ: + показать

4. \frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12};

Ответ: + показать

5. x(x+1)(x+5)(x+6)+96=0;

Ответ: + показать

6. 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x^2=0;

Ответ: + показать

7. 2(\frac{2}{x}-\frac{x}{3})=\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{18}+\frac{4}{3};

Ответ: + показать

8. \frac{2x}{x^2-4x+2}+\frac{3x}{x^2+x+2}=-\frac{5}{4};

Ответ: + показать

9. x^2+(\frac{x}{2x-1})^2=2;

Ответ: + показать

10. (x+1)^4+(x+5)^4=32;

Ответ: + показать

11. \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4;

Ответ: + показать

Печать страницы
Комментариев: 19
  1. Gulkaiyr

    Спасибо,очень хороший материал.

    [ Ответить ]
  2. Семен

    Здравствуйте! Я решал 6-ой номер, и у меня получилось после вынесения x, сокращения и замены x + 60/x на t такое уравнение 4t^2 + 132t + 1085 = 0. Корни: 31/4 и 35/4. После подстановки в x + 60/x = t получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в обоих случаях.

    Подскажите, это я ошибаюсь или в самом уравнении ошибка?

    Заранее спасибо! :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Семен, у вас ошибочны корни уравнения 4t^2+132t+1085=0 (само уравнение верное). Корни должны быть -\frac{31}{2} и -\frac{35}{2}.

      [ Ответить ]
      • Семен

        Да, точно! Я идею решения понимаю сразу, а вот из-за таких глупых ошибок решаю долго… Спасибо, Вам!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Бывает… :)

          [ Ответить ]
  3. Наталья

    Здравствуйте!
    В примере номер три похоже закралась опечатка: должно быть квадратное уравнение x^2+2,5x+1=0. А дальше правильно.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, спасибо!

      [ Ответить ]
  4. Андрей

    ПОДСКАЖИТЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4 ДЛЯ САМ РАБОТЫ

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Раскройте скобки, увидите тогда что обозначать за новую переменную.

      [ Ответить ]
  5. Андрей

    подскажите решение номера 4 для сам.работы

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да подсказала уже))

      [ Ответить ]
  6. Насвай

    Напишите решение первого, пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Принимайте x^2+3x+1 за t, сделайте замену…
      Начните…

      [ Ответить ]
  7. WhatDoesItMeanToBeManly

    В 3 задаче буквально на последней строчке ошибка. Ответ -1 и -4.
    Сижу я тут и удивляюсь таким простым решениям. Вы действительно видите, где можно что-то подправить, чтобы все красиво решить заменой? Я вот никак такого не замечаю :с

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А я не увидела ошибки в 3-м примере… :о
      Я благодарна вам за указывание на ошибки!

      [ Ответить ]
      • WhatDoesItMeanToBeManly

        Нууу, или по невнимательности допустить небольшую ошибку в ответе, или по ограниченности ума к нему даже не приблизиться…
        Да совсем не сложно отписывать я об ошибках, я их и сам раз в 10 больше делаю, когда решаю х)
        Мне интересно есть ли такая страница, где можно найтиссылки прям на ВСЕ публикации, какие только существуют? Боюсь что-то упустить.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Неужели я в этот раз вас «поймаю», мой доброжелатель?))
          Как зовут-то, – Дмитрий?
          Все публикации можно посмотреть в сайдбаре “Архив” справа (ближе к низу).
          А в примере 3 здесь яне нашла ошибки…

          [ Ответить ]
          • WhatDoesItMeanToBeManly

            Поймали, тупанул х) Ага, Дима.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, не… Поймать хотела не за ошибку))) Что вы…
            А поймать в диалоге… А то ускользаете… – не могу сказать спасибо))

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif