Рассмотрим ряд сложных рациональных уравнений, которые сводятся к решению простейших уравнений при помощи метода замены переменной.
Задача 1.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Замечаем, что уравнение можно переписать следующим образом:

Напрашивается замена: 
Тогда имеем:



Тогда обратная замена:



Ответ: 
Можно было бы оформить решение и так, чуть короче:





Ответ: 
Задача 2.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение следующим образом:

Тогда напрашивается замена: 
Имеем:




Обратная замена:



Ответ:
Задача 3.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение следующим образом:


Имеем квадратное уравнение относительно
(Не будем делать замену переменной (см. второй вариант оформления задачи 1)).





Первое уравнение не имеет корней.





Ответ:
Задача 4.
Решить уравнение:
.
Решение: + показать
Замена переменной:
, тогда 
Имеем:

Домножаем обе части равенства на 




Обратная замена:


Первое уравнение совокупности не имеет решений. Решаем второе уравнение:


Ответ:
Задача 5.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Замена: 





Обратная замена:



Ответ:
Задача 6.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Разделим обе части уравнения на
(заметим,
):


Напрашивается замена: 




Обратная замена:



Данная совокупность равносильна следующему уравнению (только второе уравнение имеет корни):



Ответ:
Задача 7.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перемножим первую скобку и последнюю, вторую и третью:

Напрашивается замена: 



Обратная замена:


Совокупность равносильна уравнению:


Откуда

Ответ:
Задача 8.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Заметим,
не является корнем уравнения, поэтому разделим числитель и знаменатель каждой дроби из левой части уравнения на
:

Замена: 

Домножаем обе части уравнения на 




Обратная замена:

Совокупность равносильна уравнению:





Ответ:
Задача 9.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Перепишем уравнение следующим образом:

Замечаем, что первые четыре слагаемые можно свернуть в куб разности:





Ответ:
Задача 10.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Прибавим к обеим частям равенства 

Тогда левую часть уравнения можно свернуть в квадрат разности:



Замена: 




Обратная замена:


Откуда



Ответ:
Задача 11.
Решить уравнение: 
Решение: + показать
Замена:
Пусть
.
Тогда





Откуда


Обратная замена:

Ответ:
Задача 12.
Решить уравнение: 
Решение: + показать





Замена: 









Обратная замена:

Откуда

Ответ:
Предлагаю задания для самостоятельной работы:
1. 
Ответ: + показать
2. 
Ответ: + показать
-1; 3
3. 
Ответ: + показать
4. 
Ответ: + показать
-3; 1
5. 
Ответ: + показать
нет решений
6. 
Ответ: + показать
7. 
Ответ: + показать
8. 
Ответ: + показать
9. 
Ответ: + показать
10. 
Ответ: + показать
-3
11. 
Ответ: + показать
Спасибо,очень хороший материал.
Здравствуйте! Я решал 6-ой номер, и у меня получилось после вынесения x, сокращения и замены x + 60/x на t такое уравнение 4t^2 + 132t + 1085 = 0. Корни: 31/4 и 35/4. После подстановки в x + 60/x = t получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в обоих случаях.
Подскажите, это я ошибаюсь или в самом уравнении ошибка?
Заранее спасибо! :)
Семен, у вас ошибочны корни уравнения
(само уравнение верное). Корни должны быть
и 
Да, точно! Я идею решения понимаю сразу, а вот из-за таких глупых ошибок решаю долго… Спасибо, Вам!
Бывает… :)
Здравствуйте!
В примере номер три похоже закралась опечатка: должно быть квадратное уравнение x^2+2,5x+1=0. А дальше правильно.
Наталья, спасибо!
ПОДСКАЖИТЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4 ДЛЯ САМ РАБОТЫ
Раскройте скобки, увидите тогда что обозначать за новую переменную.
подскажите решение номера 4 для сам.работы
Да подсказала уже))
Напишите решение первого, пожалуйста
Принимайте
за
, сделайте замену…
Начните…
В 3 задаче буквально на последней строчке ошибка. Ответ -1 и -4.
Сижу я тут и удивляюсь таким простым решениям. Вы действительно видите, где можно что-то подправить, чтобы все красиво решить заменой? Я вот никак такого не замечаю :с
А я не увидела ошибки в 3-м примере… :о
Я благодарна вам за указывание на ошибки!
Нууу, или по невнимательности допустить небольшую ошибку в ответе, или по ограниченности ума к нему даже не приблизиться…
Да совсем не сложно отписывать я об ошибках, я их и сам раз в 10 больше делаю, когда решаю х)
Мне интересно есть ли такая страница, где можно найтиссылки прям на ВСЕ публикации, какие только существуют? Боюсь что-то упустить.
Неужели я в этот раз вас «поймаю», мой доброжелатель?))
Как зовут-то, – Дмитрий?
Все публикации можно посмотреть в сайдбаре “Архив” справа (ближе к низу).
А в примере 3 здесь яне нашла ошибки…
Поймали, тупанул х) Ага, Дима.
Да, не… Поймать хотела не за ошибку))) Что вы…
А поймать в диалоге… А то ускользаете… – не могу сказать спасибо))
Как решить 11?
Как 12