Модуль. Простейшие неравенства с модулем.

2015-05-29

Определение модуля, правило раскрытия смотрим здесь.

 

Неравенства с модулем вида
|f(x)|\leq g(x) (или|f(x)|<g(x))

 

Неравенства указанного вида можно решать, исходя из определения модуля, опираясь на правило раскрытия модуля. Но зачастую целесообразно переходить к системе неравенств:

|f(x)|\leq g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\leq g(x),& & f(x)\geq -g(x); \end{cases}

|f(x)|< g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)<g(x),& & f(x)> -g(x); \end{cases}

Пример 1. 

Решить неравенство |4x+3|<5

Решение:

Неравенство равносильно системе:

\begin{cases} 4x+3<5,& &4x+3>-5; \end{cases}

\begin{cases} x<0,5,& &x>-2; \end{cases}

Ответ: (-2;\;0,5).

Пример 2.

Решить неравенство |x^2+3x|\leq x+4

Решение:

Неравенство равносильно системе:

\begin{cases} x^2+3x\leq x+4,& &x^2+3x\geq-x-4; \end{cases}

\begin{cases} x^2+2x-4\leq 0,& &x^2+4x+4\geq 0; \end{cases}

 \begin{cases} x^2+2x-4\leq 0,& &(x+2)^2\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} (x-(-1+\sqrt5))(x-(-1-\sqrt5))\leq 0,& &x\in R; \end{cases}

Ответ: [-1-\sqrt5;-1+\sqrt5]

 

Пример 3. 

Решить неравенство |x^2-3x-1|<-1

Решение:

Модуль не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство не имеет решений. Можно, конечно, расписать неравенство по указанной выше системе, что дOльше, но и она в качестве решения выдаст пустое множество.

Ответ:{ \varnothing }

 

Неравенства с модулем вида
|f(x)|\geq g(x) (или |f(x)|>g(x))

 

Точно  также, неравенства указанного вида можно решать, исходя из определения модуля, опираясь на правило раскрытия модуля. Но выгодно заменять неравенство указанного типа на следующую совокупность:

\left | f(x) \right |\geq g(x)\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} f(x)\geq g(x), &f(x)\leq -g(x); \end{gathered} \right

\left | f(x) \right |> g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f(x)>g(x), &f(x)<-g(x); \end{gathered} \right

Пример 1.

Решить неравенство |3x-7|>5

Решение:

Неравенство равносильно совокупности:

\left[ \begin{gathered} 3x-7>5, &3x-7<-5; \end{gathered} \right

\left[ \begin{gathered} x>4, &x<\frac{2}{3}; \end{gathered} \right

Совокупность двух неравенств – объединение решений неравенств, в ответ идет и решение первого неравенства, и решение второго неравенства.

Ответ: (-\infty;\frac{2}{3})\cup(4;+\infty)

Пример 2.

Решить неравенство |3x-7|>-5

Решение:

Модуль всегда больше любой отрицательной величины, поэтому решение данного неравенства – любое число.

Ответ: (-\infty;+\infty).

Пример 3.

Решить неравенство |\sqrt{x-1}-7|>-5

Решение:

Модуль всегда больше любой отрицательной величины, поэтому решение данного неравенства – любое число из ОДЗ для него.

А ОДЗ в данном случае – x\in[1;+\infty)

Ответ: [1;+\infty)

 

Пример 4.

Решить неравенство x^2-x-2<|5x-3|

Решение:

Перепишем неравенство так:  |5x-3|>x^2-x-2.

И – к совокупности обращаемся

\left[ \begin{gathered} 5x-3>x^2-x-2, &5x-3<-x^2+x+2; \end{gathered} \right

\left[ \begin{gathered} x^2-6x+1<0, &x^2+4x-5<0; \end{gathered} \right

Раскладываем на множители каждый квадратный трехчлен совокупности:

\left[ \begin{gathered} (x-(3+2\sqrt2))(x-(3-2\sqrt2))<0, &(x-1)(x+5)<0; \end{gathered} \right

Берем в ответ все – и решение первого, и решение второго неравенств (то есть объединяем решения).

Ответ: (-5;3+2\sqrt2)

 

Неравенства с модулем вида |f(x)|\vee|g(x)| 

(где \vee  – один из знаков \geq,\;>,\;\leq,\;<)

Неравенство данного типа выгодно заменять вот таким равносильным неравенством:

|f|\vee|g| \Leftrightarrow f^2\vee g^2\Leftrightarrow (f-g)(f+g)\vee 0

Пример. 

Решить неравенство: |3x-2|>|2x+1|

Решение:

|3x-2|>|2x+1|\Leftrightarrow (3x-2-(2x+1))(3x-2+(2x+1))>0

(x-3)(5x-1)>0

Ответ: (-\infty;0,2)\cup(3;+\infty)

Вы можете пройти тест по теме «Простейшие неравенства с модулем»

 

 

Смотрите также «Неравенство с несколькими модулями»

 

 

Печать страницы
Комментариев: 9
  1. Анатолий Шевелев

    не совсем понятно как мы раскрыли модуль в самом последнем примере?…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы не то, чтобы его раскрыли… Мы применили прием рационалицации. Алгоритм показан тут же, чуть выше примера.
      Например, решения неравенств |x|-3<0 и x^2-9>0 (что тоже самое (x-3)(x+3)>0)
      одинаковы (проверьте)…
      Вообще говоря, для части В понимание этого не потребуется, но очень нужно для С3.

      [ Ответить ]
  2. Настя Зайцева

    Мне не совсем понятно в последнем примере, почему после использования приема рационализации вместо 2x+1 появилось 2x+2, причем только в одном случае. Это опечатка или я что-то недопонимаю?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Настя, спасибо! Это была нелепая опечатка…

      [ Ответить ]
  3. dmd911

    После неравенства, не имеющего решений есть пачка формул, выделенная синим цветом. В последней формуле ошибка в знаке.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо за замеченную опечатку! Исправлено.

      [ Ответить ]
  4. Яна

    Здравствуйте, скажите пожалуйста, я всегда путаюсь, но в 4 примере разве ответ не (-5;3-2√2)ᴜ(3-2√2;1)ᴜ(1;3+2√2) точки ведь выколоты, получается, они не включены?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Яна, нет.
      Смотрите, на примере точки 1.
      Она входит в (3-2\sqrt2;3+2\sqrt2), ведь так? А раз у нас совокупность, – мы объединяем решения строк совокупности. В ответ, в частности, идет интервал (3-2\sqrt2;3+2\sqrt2) (из первой строки совокупности), а значит, вместе с ним автоматически и точка 1. Почему же мы должны ее обойти?

      [ Ответить ]
  5. Воскресение

    Хороший же Вы человек! Спасибо что Вы есть…

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif