Определение модуля, правило раскрытия смотрим здесь.
Неравенства с модулем вида
(или
)
+ показать
Неравенства указанного вида можно решать, исходя из определения модуля, опираясь на правило раскрытия модуля. Но зачастую целесообразно переходить к системе неравенств:
Пример 1.
Решить неравенство 
Решение:
Неравенство равносильно системе:
Ответ: 
.
Пример 2.
Решить неравенство 
Решение:
Неравенство равносильно системе:
Ответ: ![[-1-\sqrt5;-1+\sqrt5]](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7613214c3c04006313578d237ec614e4_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Пример 3.
Решить неравенство 
Решение:
Модуль не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство не имеет решений. Можно, конечно, расписать неравенство по указанной выше системе, что дOльше, но и она в качестве решения выдаст пустое множество.
Ответ:{ 
}
Неравенства с модулем вида
(или 
)
+ показать
Точно также, неравенства указанного вида можно решать, исходя из определения модуля, опираясь на правило раскрытия модуля. Но выгодно заменять неравенство указанного типа на следующую совокупность:
Пример 1.
Решить неравенство 
Решение:
Неравенство равносильно совокупности:
Совокупность двух неравенств – объединение решений неравенств, в ответ идет и решение первого неравенства, и решение второго неравенства.
Ответ: 
Пример 2.
Решить неравенство 
Решение:
Модуль всегда больше любой отрицательной величины, поэтому решение данного неравенства – любое число.
Ответ: 
.
Пример 3.
Решить неравенство 
Решение:
Модуль всегда больше любой отрицательной величины, поэтому решение данного неравенства – любое число из ОДЗ для него.
А ОДЗ в данном случае – 
Ответ: 
Пример 4.
Решить неравенство 
Решение:
Перепишем неравенство так: 
.
И – к совокупности обращаемся
Раскладываем на множители каждый квадратный трехчлен совокупности:
Берем в ответ все – и решение первого, и решение второго неравенств (то есть объединяем решения).
Ответ: 
Неравенства с модулем вида 
(где 
– один из знаков 
)
+ показать
Неравенство данного типа выгодно заменять вот таким равносильным неравенством:
Пример.
Решить неравенство: 
Решение:
Ответ: 
Смотрите также «Неравенство с несколькими модулями»
Вы можете пройти тест по теме «Простейшие неравенства с модулем»
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
Тесты
Карта сайта
Контакты
не совсем понятно как мы раскрыли модуль в самом последнем примере?…
Мы не то, чтобы его раскрыли… Мы применили прием рационалицации. Алгоритм показан тут же, чуть выше примера.
и 
(что тоже самое 
)
Например, решения неравенств
одинаковы (проверьте)…
Вообще говоря, для части В понимание этого не потребуется, но очень нужно для С3.
Вы, конечно же, имели ввиду: |x|-3<0 и x^2-9 < 0 ?
Знаки неравенств должны быть одинаковы.
Рустем, не вижу примера, о котором вы говорите…((
Вы приводите пример:
“Мы не то, чтобы его раскрыли… Мы применили прием рационалицации. Алгоритм показан тут же, чуть выше примера.
Например, решения неравенств |x|-30 (что тоже самое (x-3)(x+3)>0)
одинаковы (проверьте)…
Вообще говоря, для части В понимание этого не потребуется, но очень нужно для С3.”
Пишу на строку: “|x|-30 (что тоже самое (x-3)(x+3)>0)”
Мыслю так, что имелось ввиду “|x|-3<0 и x^2-9 < 0 (что тоже самое (x-3)(x+3) < 0)."
Знаки неравенств должны сохраняться в этом случае.
спасибо! Спешка! Исправлено
Мне не совсем понятно в последнем примере, почему после использования приема рационализации вместо 2x+1 появилось 2x+2, причем только в одном случае. Это опечатка или я что-то недопонимаю?
Настя, спасибо! Это была нелепая опечатка…
После неравенства, не имеющего решений есть пачка формул, выделенная синим цветом. В последней формуле ошибка в знаке.
Спасибо за замеченную опечатку! Исправлено.
Здравствуйте, скажите пожалуйста, я всегда путаюсь, но в 4 примере разве ответ не (-5;3-2√2)ᴜ(3-2√2;1)ᴜ(1;3+2√2) точки ведь выколоты, получается, они не включены?
Яна, нет.
.
, ведь так? А раз у нас совокупность, – мы объединяем решения строк совокупности. В ответ, в частности, идет интервал 
(из первой строки совокупности), а значит, вместе с ним автоматически и точка 
. Почему же мы должны ее обойти?
Смотрите, на примере точки
Она входит в
Хороший же Вы человек! Спасибо что Вы есть…