Произведем разбор задачи 23 из модуля “Алгебра”, которая предлагалась на Тренировочной работе № 1 в формате ГИА 1 октября 2013 года.
Постройте график функции y =|x −1| − |x +1| + x и найдите все значения k , при которых прямая y = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
При построении графика заданной функции вам будет полезно заглянуть сюда. И само собой, необходимо знать, что такое модуль.
Мы знаем, что при раскрытии модуля следует учитывать знак подмодульного выражения. Знак подмодульного выражения может смениться только в нуле. Поэтому, первое, что делаем – находим нули модулей.
Нуль первого модуля – 1, второго – -1.
Эти значения $x$ разбивают ось $ox$ на три области:
Так вот в крайней левой области и в средней знак первого подмодульного выражения – “–”, в оставшейся – “+”.
А знак второго подмодульного выражения – “–” в крайней левой области, “+” – в оставшихся.
Итак, перед нами кусочно-заданная функция:
Переходим к координатной плоскости, наносим три области, с которыми работаем:
Строим график функции:
Теперь вводим прямую $y=kx$. Эта прямая проходит через начало координат. В зависимости от коэффициента $k$ она имеет разные углы наклона к оси $ox$.
Вы можете посмотреть мини-ролик про график прямой пропорциональности здесь.
Становится ясно, что если график прямой $y=kx$ располагается в зоне, помеченной сиреневым цветом (граница левая – открытая), то основной график и прямая будут иметь только одну общую точку (начало координат).
Если чуть подробнее, – то правая граница зоны – прямая $y=x$, так как она параллельна прямой $y=x+2$. Выходить правее этой границы нельзя, иначе будет более одного пересечения основного графика и прямой $y=x$.
Левую границу зоны брать нельзя. В противном случае у нас будет бесконечно много решений (за счет совпадения отдельных участков графиков). Левая, открытая, граница зоны соответствует $k=-1$.
И, надо понимать, что прямая $y=kx$ никогда не займет положение оси ординат. Ось ординат является своебразным “переходом” $-\infty$ в $+\infty$.
Итак, $k\in (-\infty;-1)$U$[1;+\infty)$.
Ответ: $(-\infty;-1)$U$[1;+\infty)$.
Спасибо огромное!!! Love ya
объясните мне, тугодуму как вы нашли кусочно заданную функцию, я не понял само раскрытие во всех трех графиках
Пройдитесь по всем ссылкам внутри статьи.