Задача 23 из второй части ГИА по математике

2013-10-04

Произведем разбор задачи 23 из модуля “Алгебра”, которая предлагалась на Тренировочной работе № 1 в формате ГИА 1 октября 2013 года.

Постройте график функции y =|x −1| − |x +1| + x и найдите все значения k , при которых прямая y = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

При построении графика заданной функции вам будет полезно заглянуть сюда.  И само собой, необходимо знать, что такое модуль.

Мы знаем, что при раскрытии модуля следует учитывать знак подмодульного выражения. Знак подмодульного  выражения может смениться только в нуле. Поэтому, первое, что делаем – находим нули модулей.

Нуль первого модуля – 1, второго – -1.

Эти значения x разбивают  ось ox на три области:

Так вот в крайней левой области и в средней знак первого подмодульного выражения – “–”, в оставшейся – “+”.

А знак второго подмодульного выражения – “–” в крайней левой области, “+” – в оставшихся.

Итак, перед нами кусочно-заданная функция:

 

Переходим к координатной плоскости, наносим три области, с которыми работаем:

Строим график функции:

Теперь вводим прямую y=kx. Эта прямая проходит через начало координат. В зависимости от коэффициента k  она имеет разные углы наклона к оси ox.

Вы можете посмотреть мини-ролик про график прямой пропорциональности здесь.

Становится ясно, что если график прямой y=kx  располагается в зоне, помеченной сиреневым цветом (граница левая – открытая), то основной график и прямая будут иметь только одну общую точку (начало координат).

Если чуть подробнее, – то правая граница зоны – прямая y=x, так как она параллельна прямой y=x+2. Выходить правее этой границы нельзя, иначе будет более одного пересечения основного графика и прямой y=x.

Левую границу зоны брать нельзя. В противном случае у нас будет бесконечно много решений (за счет совпадения отдельных участков графиков). Левая, открытая, граница зоны соответствует k=-1.

И, надо понимать, что прямая y=kx  никогда не займет положение оси ординат. Ось ординат является своебразным “переходом” -\infty в +\infty.

Итак, k\in (-\infty;-1)U[1;+\infty).

Ответ:  (-\infty;-1)U[1;+\infty).

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. The Same

    Спасибо огромное!!! Love ya

    [ Ответить ]
  2. Betry

    объясните мне, тугодуму как вы нашли кусочно заданную функцию, я не понял само раскрытие во всех трех графиках

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пройдитесь по всем ссылкам внутри статьи.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif