Задание №15 (С1) Т/Р №95 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение $\sqrt{7-8sinx}=-2cosx$

a) Решите уравнение;

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};2\pi].$

Решение:

а)

 $\sqrt{7-8sinx}=-2cosx;$

Переходим к равносильной системе:

$\begin{cases}7-8sinx=4cos^2x,\\-2cosx\geq 0;&\end{cases}$

И далее

$\begin{cases}7-8sinx=4(1-sin^2x),\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}4sin^2x-8sinx+3=0,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=\frac{3}{2},\\sinx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx=\frac{1}{2},\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

б) Отбор корней производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ:

a) $\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$

б) $-\frac{7\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}.$