Задание №19 Т/Р №116 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-07 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью $v$ км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение $v$ , при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение:

Алексей (выйдя из дома со скоростью $v$ км/ч) на путь в 6 км потратил $\frac{6}{v}$ часов.

Пусть после этого Алексей до встречи с Жучкой прошел еще $x$ км, на что ушло $\frac{x}{v}$ часов.

За тоже время ( $\frac{x}{v}$ ч) Жучка пробежала $6+x$ км со скоростью $v+9$ км/ч.

Тогда $\frac{x}{v}=\frac{6+x}{v+9},$ откуда $x=\frac{2v}{3}.$

Время прогулки Алексея, с учетом того, что вместе с Жучкой они возвращались домой со скоростью $4$ км/ч, составило, таким образом, $\frac{6}{v}+\frac{x}{v}+\frac{6+x}{4}$ часов (или $\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6}$ часов).

Рассмотрим функцию $f(v)=\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6}$ и найдем $v$ , при котором функция принимает наименьшее значение (а также само наименьшее значение).

$f'(v)=-\frac{6}{v^2}+\frac{1}{6}=\frac{v^2-36}{6v^2}.$

$v=6$ – точка минимума, в ней и достигается наименьшее значение функции.

$f(6)=\frac{6}{6}+\frac{2}{3}+\frac{9+6}{6}=4\frac{1}{6}$ (ч).

Ответ: 6 км/ч; 4 часа 10 минут.

Автор: egeMax | комментариев 7

Печать страницы

комментариев 7

Елена

2015-05-08 в 21:53

Елена, данная задача – на оптимизацию. Мне в №19 встречались уже три разные задачи на оптимизацию (вклады в банк, зарплата рабочим на заводе). По профильному задачнику Мордковича много задач на оптимизацию.Будем отрабатывать такие задачи. Надеюсь. что на ЕГЭ 2015 все же будут задачи, связанные со вкладами и кредитами. Беру данную задачку себе в копилку. Спасибо за понятное решение!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-08 в 22:06
  
  Елена, да уж… Сначала экономические задачи, теперь на оптимизацию стали появляться… Надо быть во всеоружии…
  
  [ Ответить ]
Евгения

2016-06-18 в 22:06

За тоже время ( \frac{x}{v} ч) Жучка пробежала 6+x км со скоростью v+9 км/ч.

Объясните, пожалуйста, почему время, потраченное на x расстояние (на часть), пройденное Алексеем, приравнивается ко времени,которое затратила собака на весь путь (6+x).

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-18 в 22:10
  
  А как же?
  Поставьте на паузу ситуацию, когда Алексей стоит в 6 км от дома, а Жучка готова отправиться в путь.
  С этого момента начинается отсчет. До встречи друг с другом каждый прошел свой путь – Алексей – х, Жучка – 6+х.
  
  [ Ответить ]
  - Евгения
    
    2016-06-19 в 07:52
    
    Спасибо огромное, теперь ясно. Но все же не могу понять один пункт (не сочтите за тупость☺) почему там, где написано об общем времени, которое затратил Алексей на прогулку, происходит замена 6+x/4 на 9+V/6? Никак не могу понять, откуда это (((
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-06-19 в 10:14
      
      $x=\frac{2v}{3}$
      
      [ Ответить ]
      - Евгения
        
        2016-06-19 в 11:45
        
        Тооочно. Я подставляла это значение, но делала неправильный подсчёт. Спасибо Вам огромное за помощь!
        
        [ Ответить ]

Задание №19 Т/Р №116 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ