Задание №19 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15№16№17№18№20.
Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение:

Алексей (выйдя из дома со скоростью  v км/ч) на путь в 6 км потратил \frac{6}{v} часов.

Пусть после этого Алексей до встречи с Жучкой прошел еще x км, на что ушло \frac{x}{v}  часов.

За тоже время ( \frac{x}{v} ч)  Жучка пробежала  6+x км со скоростью v+9 км/ч.

Тогда \frac{x}{v}=\frac{6+x}{v+9}, откуда x=\frac{2v}{3}.

Время прогулки Алексея, с учетом того, что вместе с Жучкой они возвращались домой со скоростью 4 км/ч, составило, таким образом, \frac{6}{v}+\frac{x}{v}+\frac{6+x}{4} часов (или \frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6} часов).

Рассмотрим функцию f(v)=\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6} и найдем  v, при котором функция принимает наименьшее значение (а также само наименьшее значение).

f'(v)=-\frac{6}{v^2}+\frac{1}{6}=\frac{v^2-36}{6v^2}.

v=6 – точка минимума, в ней и достигается наименьшее значение функции.

f(6)=\frac{6}{6}+\frac{2}{3}+\frac{9+6}{6}=4\frac{1}{6}  (ч).

Ответ: 6 км/ч; 4 часа 10 минут.

Печать страницы
Комментариев: 7
  1. Елена

    Елена, данная задача – на оптимизацию. Мне в №19 встречались уже три разные задачи на оптимизацию (вклады в банк, зарплата рабочим на заводе). По профильному задачнику Мордковича много задач на оптимизацию.Будем отрабатывать такие задачи. Надеюсь. что на ЕГЭ 2015 все же будут задачи, связанные со вкладами и кредитами. Беру данную задачку себе в копилку. Спасибо за понятное решение!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, да уж… Сначала экономические задачи, теперь на оптимизацию стали появляться… Надо быть во всеоружии…

      [ Ответить ]
  2. Евгения

    За тоже время ( \frac{x}{v} ч) Жучка пробежала 6+x км со скоростью v+9 км/ч.

    Объясните, пожалуйста, почему время, потраченное на x расстояние (на часть), пройденное Алексеем, приравнивается ко времени,которое затратила собака на весь путь (6+x).

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А как же?
      Поставьте на паузу ситуацию, когда Алексей стоит в 6 км от дома, а Жучка готова отправиться в путь.
      С этого момента начинается отсчет. До встречи друг с другом каждый прошел свой путь – Алексей – х, Жучка – 6+х.

      [ Ответить ]
      • Евгения

        Спасибо огромное, теперь ясно. Но все же не могу понять один пункт (не сочтите за тупость☺) почему там, где написано об общем времени, которое затратил Алексей на прогулку, происходит замена 6+x/4 на 9+V/6? Никак не могу понять, откуда это (((

        [ Ответить ]
        • egeMax

          x=\frac{2v}{3}

          [ Ответить ]
          • Евгения

            Тооочно. Я подставляла это значение, но делала неправильный подсчёт. Спасибо Вам огромное за помощь!

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif