Задание №19 Т/Р №116 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью $v$ км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение $v$, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение:

Алексей (выйдя из дома со скоростью  $v$ км/ч) на путь в 6 км потратил $\frac{6}{v}$ часов.

Пусть после этого Алексей до встречи с Жучкой прошел еще $x$ км, на что ушло $\frac{x}{v}$  часов.

За тоже время ( $\frac{x}{v}$ ч)  Жучка пробежала  $6+x$ км со скоростью $v+9$ км/ч.

Тогда $\frac{x}{v}=\frac{6+x}{v+9},$ откуда $x=\frac{2v}{3}.$

Время прогулки Алексея, с учетом того, что вместе с Жучкой они возвращались домой со скоростью $4$ км/ч, составило, таким образом, $\frac{6}{v}+\frac{x}{v}+\frac{6+x}{4}$ часов (или $\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6}$ часов).

Рассмотрим функцию $f(v)=\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{9+v}{6}$ и найдем  $v$, при котором функция принимает наименьшее значение (а также само наименьшее значение).

$f'(v)=-\frac{6}{v^2}+\frac{1}{6}=\frac{v^2-36}{6v^2}.$

$v=6$ – точка минимума, в ней и достигается наименьшее значение функции.

$f(6)=\frac{6}{6}+\frac{2}{3}+\frac{9+6}{6}=4\frac{1}{6}$  (ч).

Ответ: 6 км/ч; 4 часа 10 минут.