Задание №17 Т/Р №102 А. Ларина

Решите неравенство:

$log_3(x^2-4x+5)\leq \frac{2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)}.$

Решение:

$log_3(x^2-4x+5)\leq \frac{2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^312)};$

$\frac{log_3(x^2-4x+5)\cdot log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)-2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)}\leq 0;$

$\frac{log_3(9^x+3^x-12)-2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases}\frac{9^x+3^x-12-3^{2x}}{(x^2-4x+5-1)(9^x+3^x-12-1)}\leq 0,\\9^x+3^x-12>0,\\x^2-4x+5>0,\\x^2-4x+5\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{3^x-12}{(x^2-4x+4)(9^x+3^x-13)}\leq 0,\\(3^x-3)(3^x+4)>0,\\(x-2)^2\neq 0;\\x^2-4x+5\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{3^x-12}{(x-2)^2(3^x-\frac{-1+\sqrt{53}}{2})(3^x-\frac{-1-\sqrt{53}}{2})}\leq 0,\\(3^x-3)(3^x+4)>0,\\x\neq 2;\end{cases}$

К числителю, а также ко второй скобке знаменателя опять же применяем метод замены множителей (вторая скобка знаменателя положительна,  «отбрасываем» ее). Те же рассуждения – ко второй строке системы:

$\begin{cases}\frac{x-log_312}{(x-2)^2(x-log_3\frac{-1+\sqrt{53}}{2})}\leq 0,\\x>1,\\x\neq 2;\end{cases}$

Заметим, $log_3\frac{-1+\sqrt{53}}{2}<log_39<log_312.$

$x\in (log_3\frac{-1+\sqrt{53}}{2};2)\cup (2;log_312].$

Ответ: $(log_3\frac{-1+\sqrt{53}}{2};2)\cup (2;log_312].$