Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Окружности с центром и окружность с центром касаются внешним образом. Из точки к проведена касательная , а из точки к проведена касательная ( и – точки касания).
a) Докажите, что углы и равны.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что точки и лежат по одну сторону от прямой , а радиусы окружностей равны соответственно и .

Решение:

a) Очевидно, углы – прямые.

Треугольники ,   имеют общую гипотенузу, а значит все точки и попадают на одну окружность (с диаметром ).

Следовательно, углы   равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

б) Пусть ,   (заметим, и ).

 Из по т. Пифагора:

Из по т. Пифагора:

Далее, из   имеем ,

Из  имеем    .

Пусть   пересекаются в точке

Заметим, .

Наконец,

Ответ: