Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Окружности $\omega 1$ с центром $O_1$ и окружность $\omega 2$ с центром $O_2$ касаются внешним образом. Из точки $O_1$ к $\omega 2$ проведена касательная $O_1A$, а из точки $O_2$ к $\omega 1$ проведена касательная $O_2B$ ($A$ и $B$ – точки касания).
a) Докажите, что углы $O_1AB$ и $O_1O_2B$ равны.
б) Найдите площадь четырехугольника $O_1O_2AB$, если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$, а радиусы окружностей равны соответственно $2$ и $3$.

Решение:

a) Очевидно, углы $O_1AO_2, O_1BO_2$ – прямые.

Треугольники $O_1O_2A$,  $O_1O_2B$ имеют общую гипотенузу, а значит все точки $O_1,O_2,A$ и $B$ попадают на одну окружность (с диаметром $O_1O_2$).

Следовательно, углы $O_1O_2B,$  $O_1AB$ равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

б) Пусть $\angle O_1O_2B=\angle O_1AB=\alpha$,  $\angle O_2O_1A=\beta $ (заметим, и $\angle O_2BA=\beta$).

 Из $\Delta O_1O_2A$ по т. Пифагора:

$O_1A=4.$

Из $\Delta O_1O_2B$ по т. Пифагора:

$O_2B=\sqrt{21}.$

Далее, из $\Delta O_1O_2B$  имеем $sin\alpha =\frac{2}{5}$, $cos\alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}.$

Из $\Delta O_1O_2A$  имеем  $sin\beta =\frac{3}{5},$  $cos\beta =\frac{4}{5}$.

Пусть $O_1A,$  $ O_2B$ пересекаются в точке $K.$

Заметим, $\angle O_1KB=\alpha +\beta$.

Наконец,

$S_{O_1O_2AB}=\frac{1}{2}\cdot O_1A\cdot O_2B\cdot sin O_1KB;$

$S_{O_1O_2AB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{21}\cdot sin (\alpha+\beta);$

$S_{O_1O_2AB}=2\sqrt{21}(sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta);$

$S_{O_1O_2AB}=2\sqrt{21}(\frac{2}{5}\cdot  \frac{4}{5}+\frac{\sqrt{21}}{5}\cdot  \frac{3}{5});$

$S_{O_1O_2AB}=\frac{2\sqrt{21}}{25}(8+3\sqrt{21}).$

Ответ: $\frac{2}{25}(8\sqrt{21}+63).$