Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружности \omega 1 с центром O_1 и окружность \omega 2 с центром O_2 касаются внешним образом. Из точки O_1 к \omega 2 проведена касательная O_1A, а из точки O_2 к \omega 1 проведена касательная O_2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O_1AB и O_1O_2B равны.
б) Найдите площадь четырехугольника O_1O_2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O_1O_2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.

Решение:

a) Очевидно, углы O_1AO_2, O_1BO_2 – прямые.

Треугольники O_1O_2A,  O_1O_2B имеют общую гипотенузу, а значит все точки O_1,O_2,A и B попадают на одну окружность (с диаметром O_1O_2).

Следовательно, углы O_1O_2B,  O_1AB равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

б) Пусть \angle O_1O_2B=\angle O_1AB=\alpha \angle O_2O_1A=\beta (заметим, и \angle O_2BA=\beta).

 Из \Delta O_1O_2A по т. Пифагора:

O_1A=4.

Из \Delta O_1O_2B по т. Пифагора:

O_2B=\sqrt{21}.

Далее, из \Delta O_1O_2B  имеем sin\alpha =\frac{2}{5}, cos\alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}.

Из \Delta O_1O_2A  имеем  sin\beta =\frac{3}{5},  cos\beta =\frac{4}{5}.

Пусть O_1A,  O_2B пересекаются в точке K.

Заметим, \angle O_1KB=\alpha +\beta.

Наконец,

S_{O_1O_2AB}=\frac{1}{2}\cdot O_1A\cdot O_2B\cdot sin O_1KB;

S_{O_1O_2AB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{21}\cdot sin (\alpha+\beta);

S_{O_1O_2AB}=2\sqrt{21}(sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta);

S_{O_1O_2AB}=2\sqrt{21}(\frac{2}{5}\cdot  \frac{4}{5}+\frac{\sqrt{21}}{5}\cdot  \frac{3}{5});

S_{O_1O_2AB}=\frac{2\sqrt{21}}{25}(8+3\sqrt{21}).

Ответ: \frac{2}{25}(8\sqrt{21}+63).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif