Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №167 А. Ларина
19. Целые числа и
в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.
а) Могут ли числа ,
и
образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
б) Могут ли числа ,
и
образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
в) Найдите все и
, при которых числа
и
будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Решение:
а) Так как целые числа и
в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, то
(1)
Чтобы числа ,
и
образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:
С учетом (1):
Пусть, например, тогда
Да, ,
и
могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.
б) Чтобы числа ,
и
образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:
(2)
Уравнение (2) – следствие следующего уравнения:
(3),
которое с учетом (1) перепишем так:
Замечаем, что уравнение
(4)
не имеет решений.
Действительно,
, равносильное (4),
(получено делением обеих частей (4) на (
))
не имеет решений ().
Но тогда и исходное уравнение (2) не имеет решений.
Потому числа ,
и
не могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.
в) Найдем все и
, при которых числа
и
будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.
С учетом (1) требование к числам выглядит так:
Откуда
Так как левая часть равенства – целое число, то потребуем, чтобы делилось бы нацело на
То есть на роль могли бы подойти числа
и
Если то
Откуда
Если то
Откуда
отрицательно, чего не может быть при положительном
(ведь
).
Если то
Откуда
Но тогда
, чего быть не может при
Если то
Откуда
Но тогда
, чего быть не может.
Ответ: а) да; б) нет; в) или
Добавить комментарий