Задание №19 Т/Р №167 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №167 А. Ларина

19. Целые числа $x,y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа $x+3$, $y^2$ и $z+5$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа $5x$, $y$ и $3z$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все $x,y$ и $z$, при которых числа $5x+3,y^2$  и  $3z+5$ будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Решение:

а) Так как целые числа $x,y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, то

$y^2=xz$  (1)

Чтобы числа $x+3$, $y^2$ и $z+5$ образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

$2y^2=x+3+z+5.$

С учетом (1):

$2xz=x+z+8;$

$z=\frac{x+8}{2x-1};$

Пусть, например, $x=1,$ тогда $z=9,y=3.$

Да, $x+3$, $y^2$ и $z+5$ могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

б) Чтобы числа $5x$, $y$ и $3z$ образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

$y=\frac{5x+3z}{2}$  (2)

Уравнение (2) – следствие следующего уравнения:

$y^2=(\frac{5x+3z}{2})^2$  (3),

которое с учетом (1) перепишем так:

 $xz=\frac{25x^2+30xz+9z^2}{4}$

Замечаем, что уравнение

$25x^2+26xz+9z^2=0$  (4)

не имеет решений.

Действительно,

$25(\frac{x}{z})^2+26(\frac{x}{z})+9=0$, равносильное (4),

(получено делением обеих частей (4) на $z^2$ ($z\neq 0$))

не имеет решений ($D<0$).

Но тогда и исходное уравнение (2) не имеет решений.

Потому числа $5x$, $y$ и $3z$ не могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

в) Найдем все $x,y$ и $z$, при которых числа $5x+3,y^2$  и  $3z+5$ будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

С учетом (1) требование к числам $2y^2=5x+3+3z+5$ выглядит так:

$2xz=5x+3z+8.$

Откуда

$z(2x-3)=5x+8;$

$z=\frac{5x+8}{2x-3};$

$2z=\frac{10x+16}{2x-3};$

$2z=\frac{5(2x-3)+31}{2x-3};$

$2z=5+\frac{31}{2x-3}.$

Так как левая часть равенства – целое число, то потребуем, чтобы $31$ делилось бы нацело на $2x-3.$

То есть на роль $2x-3$ могли бы подойти числа $\pm 1$ и $\pm 31.$

Если $2x-3=1,$ то $x=2.$ Откуда $z=18,y=\pm 6.$

Если $2x-3=-1,$ то $x=1.$ Откуда $z$ отрицательно, чего не может быть при положительном $x$ (ведь $y^2=xz$).

Если $2x-3=31,$ то $x=17.$ Откуда $z=3.$ Но тогда $y^2=51$, чего быть не может при $y\in Z.$

Если $2x-3=-31,$ то $x=-14.$  Откуда $z=2.$ Но тогда $y^2=-28$, чего быть не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2;6;18$ или $2;-6;18.$