Задание №19 Т/Р №167 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №167 А. Ларина

19. Целые числа и в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа , и образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа , и образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все и , при которых числа  и   будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Решение:

а) Так как целые числа и в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, то

 (1)

Чтобы числа , и образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

С учетом (1):

Пусть, например, тогда

Да, , и могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

б) Чтобы числа , и образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

 (2)

Уравнение (2) – следствие следующего уравнения:

 (3),

которое с учетом (1) перепишем так:

Замечаем, что уравнение

  (4)

не имеет решений.

Действительно,

, равносильное (4),

(получено делением обеих частей (4) на ())

не имеет решений ().

Но тогда и исходное уравнение (2) не имеет решений.

Потому числа , и не могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

в) Найдем все и , при которых числа  и   будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

С учетом (1) требование к числам  выглядит так:

Откуда

Так как левая часть равенства – целое число, то потребуем, чтобы делилось бы нацело на

То есть на роль могли бы подойти числа и

Если то Откуда

Если то Откуда отрицательно, чего не может быть при положительном (ведь ).

Если то Откуда Но тогда , чего быть не может при

Если то   Откуда  Но тогда , чего быть не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) или