Задание №19 Т/Р №167 А. Ларина

2016-10-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №167 А. Ларина

19. Целые числа x,y и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа x+3, y^2 и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа 5x, y и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все x,y и z, при которых числа 5x+3,y^2  и  3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Решение:

а) Так как целые числа x,y и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, то

y^2=xz  (1)

Чтобы числа x+3, y^2 и z+5 образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

2y^2=x+3+z+5.

С учетом (1):

2xz=x+z+8;

z=\frac{x+8}{2x-1};

Пусть, например, x=1, тогда z=9,y=3.

Да, x+3, y^2 и z+5 могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

б) Чтобы числа 5x, y и 3z образовывали б в указанном порядке арифметическую прогрессию, необходимо:

y=\frac{5x+3z}{2}  (2)

Уравнение (2) – следствие следующего уравнения:

y^2=(\frac{5x+3z}{2})^2  (3),

которое с учетом (1) перепишем так:

 xz=\frac{25x^2+30xz+9z^2}{4}

Замечаем, что уравнение

25x^2+26xz+9z^2=0  (4)

не имеет решений.

Действительно,

25(\frac{x}{z})^2+26(\frac{x}{z})+9=0, равносильное (4),

(получено делением обеих частей (4) на z^2 (z\neq 0))

не имеет решений (D<0).

Но тогда и исходное уравнение (2) не имеет решений.

Потому числа 5x, y и 3z не могут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

в) Найдем все x,y и z, при которых числа 5x+3,y^2  и  3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

С учетом (1) требование к числам 2y^2=5x+3+3z+5 выглядит так:

2xz=5x+3z+8.

Откуда

z(2x-3)=5x+8;

z=\frac{5x+8}{2x-3};

2z=\frac{10x+16}{2x-3};

2z=\frac{5(2x-3)+31}{2x-3};

2z=5+\frac{31}{2x-3}.

Так как левая часть равенства – целое число, то потребуем, чтобы 31 делилось бы нацело на 2x-3.

То есть на роль 2x-3 могли бы подойти числа \pm 1 и \pm 31.

Если 2x-3=1, то x=2. Откуда z=18,y=\pm 6.

Если 2x-3=-1, то x=1. Откуда z отрицательно, чего не может быть при положительном x (ведь y^2=xz).

Если 2x-3=31, то x=17. Откуда z=3. Но тогда y^2=51, чего быть не может при y\in Z.

Если 2x-3=-31, то x=-14.  Откуда z=2. Но тогда y^2=-28, чего быть не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2;6;18 или 2;-6;18.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif