Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №166 А. Ларина

13 Окт 2016

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №166 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-13 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} cos(cosx)-cosy=(a^2+1)(y-cosx),& &2y^2-(3a-8)cosx+a^2-4a=0;& \end{cases}$

не имеет решений.

Решение:

Пусть $cosx=m.$ Тогда первое уравнение системы примет вид:

$cosm-cosy=(a^2+1)(y-m);$

$cosm-cosy=a^2y-a^2m+y-m;$

$cosm+m+a^2m=cosy+y+a^2y$ (*)

Рассмотрим функцию $f(x)=cosx+x+a^2x.$

Замечаем, что $f'(x)=-sinx+1+a^2\geq 0.$ Поэтому $f(x)$ – возрастающая функция.

Уравнение (*) можно переписать, используя $f(x)$ , так:

$f(m)=f(y)$ (**)

В силу монотонности функции $f(x)$ уравнение (**) равносильно уравнению $m=y.$

Итак, из первого уравнения исходной системы мы извлекли:

$y=cosx$ (откуда $|y|\leq 1$ ).

Стало быть, исходная система не будет иметь решений в случае, если уравнение

$2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$

не имеет решений, либо $y$ не принадлежит $[-1;1]$ .

Так как дискриминант уравнения $2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$ есть

$(3a-8)^2-8(a^2-4a)=a^2-16a+64=(a-8)^2\geq 0,$

то уравнение при любом $a$ имеет корни и они таковы:

$y=\frac{3a-8\pm|a-8|}{4},$

то есть

$y=\frac{a}{2}$ или $y=a-4.$

Потребуем, чтобы и $\frac{a}{2}$ , и $a-4$ не входили в $[-1;1].$

То есть

$\frac{a}{2}<-1$ или $\frac{a}{2}>1$

и

$a-4<-1$ или $a-4>1.$

Получаем

$a\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$

и

$a\in (-\infty;3)\cup (5;+\infty)$ .

Итого, при $a\in (-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$ исходная система решений не имеет.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы