Задание №18 Т/Р №166 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}cos(cosx)-cosy=(a^2+1)(y-cosx),\\2y^2-(3a-8)cosx+a^2-4a=0;&\end{cases}$

не имеет решений. 

Решение:

Пусть $cosx=m.$ Тогда первое уравнение системы примет вид:

$cosm-cosy=(a^2+1)(y-m);$

$cosm-cosy=a^2y-a^2m+y-m;$

$cosm+m+a^2m=cosy+y+a^2y$ (*)

Рассмотрим функцию $f(x)=cosx+x+a^2x.$

Замечаем, что $f'(x)=-sinx+1+a^2\geq 0.$ Поэтому $f(x)$ – возрастающая функция.

Уравнение (*) можно переписать, используя $f(x)$, так:

$f(m)=f(y)$ (**)

В силу монотонности функции $f(x)$ уравнение (**) равносильно уравнению $m=y.$

Итак, из первого уравнения исходной системы мы извлекли:

$y=cosx$ (откуда $|y|\leq 1$).

Стало быть, исходная система не будет иметь решений в случае, если уравнение

$2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$

не имеет решений, либо $y$ не принадлежит $[-1;1]$.

Так как дискриминант уравнения $2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$ есть

 $(3a-8)^2-8(a^2-4a)=a^2-16a+64=(a-8)^2\geq 0,$

то уравнение при любом $a$ имеет корни и они таковы:

$y=\frac{3a-8\pm|a-8|}{4},$

то есть

$y=\frac{a}{2}$ или $y=a-4.$

Потребуем, чтобы и $\frac{a}{2}$, и $a-4$ не входили в $[-1;1].$

То есть

$\frac{a}{2}<-1$ или  $\frac{a}{2}>1$

и

$a-4<-1$ или $a-4>1.$

Получаем

$a\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$

и

$a\in (-\infty;3)\cup (5;+\infty)$.

Итого,  при $a\in  (-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$ исходная система решений не имеет.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$.