Задание №18 Т/Р №166 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №166 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} cos(cosx)-cosy=(a^2+1)(y-cosx),& &2y^2-(3a-8)cosx+a^2-4a=0;& \end{cases}

не имеет решений. 

Решение:

Пусть cosx=m. Тогда первое уравнение системы примет вид:

cosm-cosy=(a^2+1)(y-m);

cosm-cosy=a^2y-a^2m+y-m;

cosm+m+a^2m=cosy+y+a^2y (*)

Рассмотрим функцию f(x)=cosx+x+a^2x.

Замечаем, что f'(x)=-sinx+1+a^2\geq 0. Поэтому f(x) – возрастающая функция.

Уравнение (*) можно переписать, используя f(x), так:

f(m)=f(y) (**)

В силу монотонности функции f(x) уравнение (**) равносильно уравнению m=y.

Итак, из первого уравнения исходной системы мы извлекли:

y=cosx (откуда |y|\leq 1).

Стало быть, исходная система не будет иметь решений в случае, если уравнение

2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0

не имеет решений, либо y не принадлежит [-1;1].

Так как дискриминант уравнения 2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0 есть

 (3a-8)^2-8(a^2-4a)=a^2-16a+64=(a-8)^2\geq 0,

то уравнение при любом a имеет корни и они таковы:

y=\frac{3a-8\pm|a-8|}{4},

то есть

y=\frac{a}{2} или y=a-4.

Потребуем, чтобы и \frac{a}{2}, и a-4 не входили в [-1;1].

То есть

\frac{a}{2}<-1 или  \frac{a}{2}>1

и

a-4<-1 или a-4>1.

Получаем

a\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)

и

a\in (-\infty;3)\cup (5;+\infty).

Итого,  при a\in  (-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty) исходная система решений не имеет.

Ответ: (-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif