Задание №14 Т/Р №184 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №184 А. Ларина 

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$, точки $P$, $Q$, $R$ лежат на боковых ребрах $AS$, $CS$ и $BS$, причем $\frac{SP}{AP}=\frac{CQ}{QS}=\frac{SR}{RB}=2.$

а) Доказать, что объемы пирамид $SPRQ$ и $SABC$ относятся как $4:27$.

б) Найти объем пирамиды $CPQR$, если $AB=2$ и $SA=3$.

Решение:

а) Воспользуемся теоремой:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол  (Доказательство можно посмотреть здесь)

$\large \frac{V_{SPRQ}}{V_{SABC}}=\frac{PS\cdot QS\cdot RS}{AS\cdot BS\cdot CS}=\frac{\frac{2}{3}AS\cdot \frac{1}{3}CS\cdot \frac{2}{3}BS}{AS\cdot BS\cdot CS}=\frac{4}{27}.$

Что и требовалось доказать.

б) $V_{CPQR}=V_{ABCS}-V_{PRQS}-V_{APRBC}=\frac{23}{27}V_{ABCS}-V_{APRBC}.$

Пусть $O$ – проекция $S$ на $ABC,$ $D$ – середина $AB.$

$CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3,$  $CO=\frac{2}{3}CD=\frac{2\sqrt3}{3}.$

$SO=\sqrt{CS^2-CO^2}=\sqrt{3^2-(\frac{2\sqrt3}{3})^2}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}.$

$V_{ABCS}=\frac{S_{ABC}\cdot SO}{3}=\frac{\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{3}.$

$V_{APRBC}=\frac{S_{APRB}\cdot CH}{3},$ где $CH\perp SD$ (а так как и $AB\perp CH,$ то  $CH\perp (ABS)$).

Из треугольника $CDS:$

$CH\cdot SD=CD\cdot SO$ (дважды применена формула площади);

$CH=\frac{CD\cdot SO}{SD}=\large \frac{\sqrt3\cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{23}}{2\sqrt2}.$

Далее, $S_{APRB}=\frac{5}{9}S_{ABS}=\frac{5\cdot 2\sqrt2}{9}=\frac{10\sqrt2}{9}.$

Итак,

$V_{CPQR}=\frac{23}{27}V_{ABCS}-V_{APRBC}=\large \frac{23}{27}\cdot \frac{\sqrt{23}}{3}-\frac{\frac{10\sqrt2}{9}\cdot \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt2}}{3}=\frac{23\sqrt{23}}{81}-\frac{5\sqrt{23}}{27}=$

$=\sqrt{23}(\frac{23}{81}-\frac{5}{27})=\frac{8\sqrt{23}}{81}.$

Ответ: $\frac{8\sqrt{23}}{81}.$