Задание №14 Т/Р №184 А. Ларина

2017-02-15

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №184 А. Ларина 

14. В правильной треугольной пирамиде SABC, точки P, Q, R лежат на боковых ребрах AS, CS и BS, причем \frac{SP}{AP}=\frac{CQ}{QS}=\frac{SR}{RB}=2.

а) Доказать, что объемы пирамид SPRQ и SABC относятся как 4:27.

б) Найти объем пирамиды CPQR, если AB=2 и SA=3.

Решение:

а) Воспользуемся теоремой:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол  (Доказательство можно посмотреть здесь)

\frac{V_{SPRQ}}{V_{SABC}}=\frac{PS\cdot QS\cdot RS}{AS\cdot BS\cdot CS}=\frac{\frac{2}{3}AS\cdot \frac{1}{3}CS\cdot \frac{2}{3}BS}{AS\cdot BS\cdot CS}=\frac{4}{27}.

Что и требовалось доказать.

б) V_{CPQR}=V_{ABCS}-V_{PRQS}-V_{APRBC}=\frac{23}{27}V_{ABCS}-V_{APRBC}.

Пусть O – проекция S на ABC, D – середина AB.

CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3,  CO=\frac{2}{3}CD=\frac{2\sqrt3}{3}.

SO=\sqrt{CS^2-CO^2}=\sqrt{3^2-(\frac{2\sqrt3}{3})^2}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}.

V_{ABCS}=\frac{S_{ABC}\cdot SO}{3}=\frac{\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{3}.

V_{APRBC}=\frac{S_{APRB}\cdot CH}{3}, где CH\perp SD (а так как и AB\perp CH, то  CH\perp (ABS)).

Из треугольника CDS:

CH\cdot SD=CD\cdot SO (дважды применена формула площади);

CH=\frac{CD\cdot SO}{SD}=\frac{\sqrt3\cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt3}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{23}}{2\sqrt2}.

Далее, S_{APRB}=\frac{5}{9}S_{ABS}=\frac{5\cdot 2\sqrt2}{9}=\frac{10\sqrt2}{9}.

Итак,

V_{CPQR}=\frac{23}{27}V_{ABCS}-V_{APRBC}=\frac{23}{27}\cdot \frac{\sqrt{23}}{3}-\frac{\frac{10\sqrt2}{9}\cdot \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt2}}{3}=\frac{23\sqrt{23}}{81}-\frac{5\sqrt{23}}{27}=

=\sqrt{23}({\frac{23}{81}-\frac{5}{27})=\frac{8\sqrt{23}}{81}.

Ответ: \frac{8\sqrt{23}}{81}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

12 + девять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif