Задание №16 Т/Р №184 А. Ларина

Елена Репина 2017-02-16 2017-02-15

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №184 А. Ларина

16. В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ опущены высоты $AP$ и $CQ$ на стороны $BC$ и $AB.$ Известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $18$ , площадь треугольника $BPQ$ равна $2$ , а длина отрезка $Q$ равна $2\sqrt2.$
а) Доказать, что треугольники $QBP$ и $CBA$ подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ .

Решение:

а) Пусть $\angle QCA=\alpha.$ Тогда $\angle A=90^{\circ}-\alpha.$

Как известно, вершины треугольников, чьи гипотенузы совпадают, лежат на одной окружности. Тогда $\angle QCA=\angle QPA$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Но тогда $\angle QPB=90^{\circ}-\alpha.$

Итак, $\angle QPB=\angle CAB$ и $\angle B$ – общий для треугольников $QBP$ , $CBA$ . Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

б) Так как если коэффициент подобия треугольников $k,$ то площади находятся в отношении $k^2,$ то, учитывая, что $S_{CBA}:S_{QBP}=18:2,$ замечаем, что коэффициент подобия треугольников равен $3$ и $AC=3QP=6\sqrt2.$