Задание №16 Т/Р №184 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19  Тренировочной работы №184 А. Ларина 

16. В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ опущены высоты $AP$ и $CQ$ на стороны $BC$ и $AB.$ Известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $18$, площадь треугольника $BPQ$ равна $2$, а длина отрезка $PQ$ равна $2\sqrt2.$
а) Доказать, что треугольники $QBP$ и $CBA$ подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Решение:

а) Пусть $\angle QCA=\alpha.$ Тогда $\angle A=90^{\circ}-\alpha.$

Как известно, вершины треугольников, чьи гипотенузы совпадают, лежат на одной окружности. Тогда  $\angle QCA=\angle QPA$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Но тогда $\angle QPB=90^{\circ}-\alpha.$

Итак, $\angle QPB=\angle CAB$ и $\angle B$ – общий для треугольников $QBP$, $CBA$. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

б) Так как если коэффициент подобия треугольников $k,$ то площади находятся в отношении $k^2,$ то, учитывая, что $S_{CBA}:S_{QBP}=18:2,$ замечаем, что коэффициент подобия треугольников равен $3$ и $AC=3QP=6\sqrt2.$

По треореме синусов

$\large\frac{AC}{sinB}=2R,$

где $R$ – радиус окружности, описанной около $\Delta ABC.$

Тогда

$\large R=\frac{AC}{2sinB}=\frac{3\sqrt2}{sinB}=\frac{3\sqrt2}{\frac{AP}{AB}}=\frac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt{AB^2-PB^2}}{AB}}=$

$\large=\frac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt{(3PB)^2-PB^2}}{2PB}}=\frac{3\sqrt2}{\frac{PB\sqrt{8}}{3PB}}=\frac{9}{2}=4,5.$

Ответ: б) $4,5.$