Задание №16 Т/Р №184 А. Ларина

2017-02-15

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19  Тренировочной работы №184 А. Ларина 

16. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка Q равна 2\sqrt2.
а) Доказать, что треугольники QBP и CBA подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение:

а) Пусть \angle QCA=\alpha. Тогда \angle A=90^{\circ}-\alpha.

Как известно, вершины треугольников, чьи гипотенузы совпадают, лежат на одной окружности. Тогда  \angle QCA=\angle QPA как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Но тогда \angle QPB=90^{\circ}-\alpha.

Итак, \angle QPB=\angle CAB и \angle B – общий для треугольников QBP, CBA. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

б) Так как если коэффициент подобия треугольников k, то площади находятся в отношении k^2, то, учитывая, что S_{CBA}:S_{QBP}=18:2, замечаем, что коэффициент подобия треугольников равен 3 и AC=3QP=6\sqrt2.

По треореме синусов

\frac{AC}{sinB}=2R,

где R – радиус окружности, описанной около \Delta ABC.

Тогда

R=\frac{AC}{2sinB}=\frac{3\sqrt2}{sinB}=\frac{3\sqrt2}{\frac{AP}{AB}}=\frac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt{AB^2-PB^2}}{AB}}=

=\frac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt{(3PB)^2-PB^2}}{2PB}}=\frac{3\sqrt2}{\frac{PB\sqrt{8}}{3PB}}=\frac{9}{2}=4,5.

Ответ: б) 4,5.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 + восемь =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif