Задания 16 ЕГЭ 2023

1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и МC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  7 и MK  =  14.

Решение Ответ:

1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  4 и MK  =  12.

Ответ:

2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке  причём меньшая проходит через центр большей. Хорда  большей окружности касается меньшей в точке  Хорды  и  пересекают меньшую окружность в точках  и  соответственно, а отрезки  и  пересекаются в точке 

а)  Докажите, что 

б)  Найдите длину хорды  если   a радиус меньшей окружности равен 

Решение Ответ:

2.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке  причём меньшая проходит через центр большей. Хорда  большей окружности касается меньшей в точке  Хорды  и  пересекают меньшую окружность в точках  и  соответственно, а отрезки  и  пересекаются в точке 

а)  Докажите, что 

б)  Найдите длину хорды  если   a радиус меньшей окружности равен 

Ответ:

3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке  причём меньшая проходит через центр большей. Хорда  большей окружности касается меньшей в точке  Хорды  и  пересекают меньшую окружность в точках  и  соответственно.

а)  Докажите, что прямые  и  параллельны.

б)  Пусть   — точка пересечения отрезков  и  Найдите  если радиус большей окружности равен а 

Решение Ответ:

3.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда  большей окружности касается меньшей в точке  Хорды  и  пересекают меньшую окружность в точках  и  соответственно. 

а)  Докажите, что прямые  и  параллельны.

б)  Пусть   — точка пересечения отрезков  и  Найдите длину отрезка , если радиус большей окружности равен а 

Ответ:

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне  треугольника  переcекает сторону  в точке  Окружность с центром  вписанная в треугольник  касается отрезка  в точке  а прямая  пересекает сторону  в точке 

а)  Докажите, что около четырёхугольника  можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника  если 

Решение Ответ:

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает сторону в точке Окружность с центром вписанная в треугольник касается отрезка в точке а прямая пересекает сторону в точке

a) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника если

 Ответ:

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной  в точке  и пересекает вторую сторону в точках  и  (точка  лежит между  и ). В окружности проведён диаметр 

а)  Докажите, что отрезок  вдвое больше отрезка .

б)  Найдите расстояние от точки  до прямой  если  и 

Решение Ответ:

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной  в точке  и пересекает вторую сторону в точках  и  (точка  лежит между  и ). В окружности проведён диаметр 

а)  Докажите, что отрезок  вдвое больше отрезка .

б)  Найдите расстояние от точки  до прямой  если  и 

Ответ: