Задания 16 ЕГЭ 2023

2023-05-22

1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и МC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  7 и MK  =  14.

Решение Ответ: \frac{147\sqrt5}{5}.

1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  4 и MK  =  12.

Ответ: \frac{96}{\sqrt7}.


2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.

а)  Докажите, что CN:CM=LB:LA.

б)  Найдите длину хорды MN, если LB:LA=3:7,  a радиус меньшей окружности равен \sqrt{17}.

Решение Ответ: \frac{340}{21}.

2.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.

а)  Докажите, что CN:CM=LB:LA.

б)  Найдите длину хорды MN, если LB:LA=2:3,  a радиус меньшей окружности равен \sqrt{23}.

Ответ: \frac{115}{6}.


3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.

Решение Ответ: \sqrt{10}.

3.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. 

а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC = 32.

Ответ: \sqrt{34}.


4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.

а)  Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.

Решение Ответ: \frac{50\sqrt{95}}{171}.

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.

a) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8, BC=\sqrt{15}, AC=7.

 Ответ: \frac{64}{7\sqrt{15}}.


5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A и B (точка A лежит между B и D). В окружности проведён диаметр AC.

а)  Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка DE.

б)  Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 4 и AB = 5.

Решение Ответ: 6.

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A и B (точка A лежит между B и D). В окружности проведён диаметр AC.

а)  Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка DE.

б)  Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 2 и AB = 6.

Ответ: 4.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




четырнадцать + 18 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif