Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2019-06-21

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC=120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

Решение:

a) Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть \angle BAO=\angle OAC=\alpha,\angle ABO=\angle OBC=\beta.

Тогда \angle AOP=\alpha +\beta (как внешний угол треугольника ABO.)

Между тем, \angle CAP=\angle CBP=\beta (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

Итак, \angle OAP=\angle AOP =\alpha +\beta, а значит, треугольник AOP – равнобедренный, AP=OP.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что треугольник ACP – равнобедренный.

Действительно, \angle CAP=\angle ACP =\beta (\angle ACP=\angle ABP как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). А значит, перпендикуляр PH, опущенный из P на AC, пройдет через точку Q, центр описанной окружности около треугольника ABC (центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).

Далее,

\angle AQP=2\cdot ABP=120^{\circ},  \angle AQH=60^{\circ}.

QH=\frac{AQ}{2}=9 (по свойству прямоугольного треугольника с углом в 30^{\circ}).

Итак, PH=PQ+QH=18+9=27.

Ответ: б) 27.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




пять × один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif