Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$.

Решение:

a) Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть $\angle BAO=\angle OAC=\alpha,\angle ABO=\angle OBC=\beta.$

Тогда $\angle AOP=\alpha +\beta$ (как внешний угол треугольника $ABO$.)

Между тем, $\angle CAP=\angle CBP=\beta$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

Итак, $\angle OAP=\angle AOP =\alpha +\beta,$ а значит, треугольник $AOP$ – равнобедренный, $AP=OP.$

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что треугольник $ACP$ – равнобедренный.

Действительно, $\angle CAP=\angle ACP =\beta$ ($\angle ACP=\angle ABP$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). А значит, перпендикуляр $PH,$ опущенный из $P$ на $AC,$ пройдет через точку $Q,$ центр описанной окружности около треугольника $ABC$ (центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).

Далее,

$\angle AQP=2\cdot ABP=120^{\circ},$  $\angle AQH=60^{\circ}.$

$QH=\frac{AQ}{2}=9$ (по свойству прямоугольного треугольника с углом в $30^{\circ}$).

Итак, $PH=PQ+QH=18+9=27.$

Ответ: б) $27.$