Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2023-06-13

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$.

Решение:

a) Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть $\angle BAO=\angle OAC=\alpha,\angle ABO=\angle OBC=\beta.$

Тогда $\angle AOP=\alpha +\beta$ (как внешний угол треугольника $ABO$.)

Между тем, $\angle CAP=\angle CBP=\beta$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

Итак, $\angle OAP=\angle AOP =\alpha +\beta,$ а значит, треугольник $AOP$ – равнобедренный, $AP=OP.$

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что треугольник $ACP$ – равнобедренный.

Действительно, $\angle CAP=\angle ACP =\beta$ ($\angle ACP=\angle ABP$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). А значит, перпендикуляр $PH,$ опущенный из $P$ на $AC,$ пройдет через точку $Q,$ центр описанной окружности около треугольника $ABC$ (центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).

Далее,

$\angle AQP=2\cdot ABP=120^{\circ},$  $\angle AQH=60^{\circ}.$

$QH=\frac{AQ}{2}=9$ (по свойству прямоугольного треугольника с углом в $30^{\circ}$).

Итак, $PH=PQ+QH=18+9=27.$

Ответ: б) $27.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




2 × три =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif