Задания II части ГИА Тренировочной работы №1 от 19 ноября 2013 г

2014-02-28

Разберем задания части 2 из Т/Р в формате ГИА.

Задание 21.


Сократить дробь \frac{2^{n+2}\cdot 21^{n+3}}{6^{n+1}\cdot 7^{n+2}}.

Решение:

\frac{2^{n+2}\cdot 21^{n+3}}{6^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^{n+2}\cdot (3\cdot 7)^{n+3}}{(2\cdot 3)^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^{n+2}\cdot 3^{n+3}\cdot 7^{n+3}}{2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=

=2^{n+2-(n+1)}\cdot 3^{n+3-(n+1)}\cdot 7^{n+3-(n+2)}=2\cdot 3^2\cdot 7=126.

Задание 22.

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 136 литров.

Решение:

Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту, тогда вторая труба пропускает, согласно условию, x+2 литров воды в минуту.

Заполним таблицу:

При этом \frac{130}{x+2} меньше, согласно условию задачи, \frac{136}{x} на 4. Тогда

\frac{130}{x+2}+4=\frac{136}{x};

Произведем сокращение на 2:

\frac{65}{x+2}+2=\frac{68}{x};

Домножаем обе части равенства на x(x+2):

65x+2x(x+2)=68(x+2);

65x+2x^2+4x-68x-136=0;

2x^2+x-136=0;

D=1+4\cdot 2\cdot 136=33^2;

x=\frac{-1\pm 33}{4};

x=8 или x=-8,5 (не подходит по условию);

Тогда вторая труба пропускает 10 литров в минуту.

Ответ: 10.

Задание 23.

Найдите наибольшее значение выражения \frac{x^3-y}{x^2+1}-\frac{x^2y-x}{x^2+1}, если  x и y связаны соотношением y=x^2+x-4.

Решение:

Обозначим данное выражение за  A и подставим  y=x^2+x-4 в A:

A=\frac{x^3-(x^2+x-4)}{x^2+1}-\frac{x^2(x^2+x-4)-x}{x^2+1}=\frac{x^3-x^2-x+4-x^4-x^3+4x^2+x}{x^2+1}=

=\frac{-x^4+3x^2+4}{x^2+1}=-\frac{x^4-3x^2-4}{x^2+1}.

Дискриминант квадратного трехчлена (x^2)^2-3x^2-4 относительно x^2 равен 25. Заготавливаем шаблончик x^4-3x^2-4=(x^2-...)(x^2-...) и действуем согласно следующему способу “превращения” суммы в произведение:

 at^2+bt+c=a(t-t_1)(t-t_2), где t_1,\; t_2 –корни at^2+bt+c=0

Тогда A=-\frac{(x^2+1)(x^2-4)}{x^2+1}=-(x^2-4)=4-x^2.

Заметим, x^2+1\neq 0, поэтому  A=4-x^2 на R.

Итак, нам нужно найти наибольшее значение выражения 4-x^2.

x^2\geq 0;

-x^2\leq 0;

4-x^2\leq 4;

То есть A\leq 4. Итак, наибольшее значение выражения A – это 4.

Можно рассуждать и так: A достигает своего наибольшего значения в точке – вершине параболы A(x)=4-x^2, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы A(x)=4-x^2 – точка (0;4).

Ответ: 4.

Задание 24.

В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B провели высоту B к стороне AD, причем AE=ED. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если угол A равен 60˚, а BE=3\sqrt3.

Решение:

Площадь S параллелограмма ABCD вычисляем по формуле S=BE\cdot AD.

Необходимо найти AD.

Рассмотрим  прямоугольный треугольник ABE.

tgA=\frac{BE}{AE};

tg60^{\circ}=\frac{3\sqrt3}{AE};

AE=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3};

AE=3;

Тогда AD=2AE=6, а значит S=3\sqrt3\cdot 6=18\sqrt3.

Ответ: 18\sqrt3.

Задание 25.

Окружность касается стороны AB  треугольника ABC, у которого \angle C=90^{\circ}, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

Решение:

Пусть точки касания заданной окружности с прямыми CA, CB, AB  –  N,\;M,\;P соответственно.

По свойству отрезков касательных BM=BP, AP=AN, CM=CN.

Заметим, CMON – квадрат (все углы – прямые и соседние стороны  CM,\;CN равны).

P_{ABC}=AC+CB+AB=AC+CB+(BP+AP)=AC+CB+(BM+AN)=CN+CM=2R, где R=OM  – радиус данной окружности.

Итак, периметр треугольника ABC равен диаметру окружности, касающейся стороны AB и продолжений CB,\;CA.

 

Задание 26

смотрите здесь.

Задания второй части тренировочной работы из другого варианта для самостоятельной проработки:

+ показать

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif