Разберем задания части 2 из Т/Р в формате ГИА.
Задание 21
Сократить дробь $\frac{2^{n+2}\cdot 21^{n+3}}{6^{n+1}\cdot 7^{n+2}}.$
Решение: + показать
$\frac{2^{n+2}\cdot 21^{n+3}}{6^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^{n+2}\cdot (3\cdot 7)^{n+3}}{(2\cdot 3)^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^{n+2}\cdot 3^{n+3}\cdot 7^{n+3}}{2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 7^{n+2}}=$
$=2^{n+2-(n+1)}\cdot 3^{n+3-(n+1)}\cdot 7^{n+3-(n+2)}=2\cdot 3^2\cdot 7=126.$
Задание 22
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 136 литров.
Решение: + показать
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту, тогда вторая труба пропускает, согласно условию, $x+2$ литров воды в минуту.
Заполним таблицу:

При этом $\frac{130}{x+2}$ меньше, согласно условию задачи, $\frac{136}{x}$ на 4. Тогда
$\frac{130}{x+2}+4=\frac{136}{x};$
Произведем сокращение на 2:
$\frac{65}{x+2}+2=\frac{68}{x};$
Домножаем обе части равенства на $x(x+2)$:
$65x+2x(x+2)=68(x+2);$
$65x+2x^2+4x-68x-136=0;$
$2x^2+x-136=0;$
$D=1+4\cdot 2\cdot 136=33^2;$
$x=\frac{-1\pm 33}{4};$
$x=8$ или $x=-8,5$ (не подходит по условию);
Тогда вторая труба пропускает 10 литров в минуту.
Ответ: 10.
Задание 23
Найдите наибольшее значение выражения $\frac{x^3-y}{x^2+1}-\frac{x^2y-x}{x^2+1}$, если $x$ и $y$ связаны соотношением $y=x^2+x-4$.
Решение: + показать
Обозначим данное выражение за $A$ и подставим $y=x^2+x-4$ в $A$:
$A=\frac{x^3-(x^2+x-4)}{x^2+1}-\frac{x^2(x^2+x-4)-x}{x^2+1}=\frac{x^3-x^2-x+4-x^4-x^3+4x^2+x}{x^2+1}=$
$=\frac{-x^4+3x^2+4}{x^2+1}=-\frac{x^4-3x^2-4}{x^2+1}.$
Дискриминант квадратного трехчлена $(x^2)^2-3x^2-4$ относительно $x^2$ равен $25$. Заготавливаем шаблончик $x^4-3x^2-4=(x^2-…)(x^2-…)$ и действуем согласно следующему способу “превращения” суммы в произведение:
$\color{red}at^2+bt+c=a(t-t_1)(t-t_2),$ где $t_1,\; t_2$ –корни $at^2+bt+c=0$
Тогда $A=-\frac{(x^2+1)(x^2-4)}{x^2+1}=-(x^2-4)=4-x^2.$
Заметим, $x^2+1\neq 0$, поэтому $A=4-x^2$ на $R.$
Итак, нам нужно найти наибольшее значение выражения $4-x^2.$
$x^2\geq 0;$
$-x^2\leq 0;$
$4-x^2\leq 4;$
То есть $A\leq 4$. Итак, наибольшее значение выражения $A$ – это 4.
Можно рассуждать и так: $A$ достигает своего наибольшего значения в точке – вершине параболы $A(x)=4-x^2$, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы $A(x)=4-x^2$ – точка $(0;4).$
Ответ: 4.
Задание 24
В параллелограмме $ABCD$ из вершины тупого угла $B$ провели высоту $B$ к стороне $AD$, причем $AE=ED.$ Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если угол $A$ равен 60˚, а $BE=3\sqrt3.$
Решение: + показать
Площадь $S$ параллелограмма $ABCD$ вычисляем по формуле $S=BE\cdot AD$.
Необходимо найти $AD.$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE.$

$tgA=\frac{BE}{AE};$
$tg60^{\circ}=\frac{3\sqrt3}{AE};$
$AE=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3};$
$AE=3;$
Тогда $AD=2AE=6,$ а значит $S=3\sqrt3\cdot 6=18\sqrt3.$
Ответ: $18\sqrt3.$
Задание 25
Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$, у которого $\angle C=90^{\circ}$, и продолжений его сторон $AC$ и $BC$ за точки $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен диаметру этой окружности.
Решение:+ показать
Пусть точки касания заданной окружности с прямыми $CA$, $CB$, $AB$ – $N,\;M,\;P$ соответственно.
По свойству отрезков касательных $BM=BP$, $AP=AN$, $CM=CN$.
Заметим, $CMON$ – квадрат (все углы – прямые и соседние стороны $CM,\;CN$ равны).

$P_{ABC}=AC+CB+AB=AC+CB+(BP+AP)=AC+CB+(BM+AN)=CN+CM=2R,$ где $R=OM$ – радиус данной окружности.
Итак, периметр треугольника $ABC$ равен диаметру окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений $CB,\;CA.$
Задание 26
смотрите здесь.
Задания второй части тренировочной работы из другого варианта для самостоятельной проработки:
+ показать

Ответы:
21) $-\frac{7}{x};$
22) $40$;
23) $(-\infty;-1)\cup (0;1);$
24) $28$;
26) $9.$
Добавить комментарий