(ЕГЭ 2023, Досрок)

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа $128$ число $29$?

б)  Можно ли получить из числа $128$ число $31$?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа $128$?

Решение:

а) Да, например:

$128;95;53;29.$

б) Заметим, остаток при делении на $3$ числа 128 равен $2,$ а остаток при делении на $3$ числа $31$ равен $1.$ Но указанные в условии задачи операции (прибавление утроенной суммы цифр к числу, либо вычитание утроенной суммы цифр числа) не меняют остаток при делении на $3$ числа, так как утроенные суммы цифр числа кратны $3.$

в) По замеченному в пункте б, понимаем, что наименьшим числом не может оказаться $1,$ так как числа $128$ и $1$ имеют разные остатки при делении на $3.$
Попробуем подобрать пример для $2.$

$128-3\cdot 11=95;$
$95-3\cdot 14=53;$
$53-3\cdot 8=29;$
$29+3\cdot 11=62;$
$62+3\cdot 8=86;$
$86-3\cdot 14=44;$
$44+3\cdot 8=20;$
$20+3\cdot 2=26;$
$26-3\cdot 8=2.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $2.$