(ЕГЭ 2023, Досрок)

У Пети есть монеты номиналом и рублей. Каждого вида монет у него по штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит. 

а)  Может ли Петя выбрать дома монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более   рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более   рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более   рублей?

Ответ: а) да; б) нет; в)

Решение:

а) Взяв монеты Петя может оплатить ими без сдачи пирожное стоимостью от до рублей. Добавляя к ним монет по рублей, Петя вполне может оплатить без сдачи пирожное любой стоимости уже до рублей включительно.

А именно. Если цена пирожного – круглое число (с одним нулем), оплачиваем пирожное монетами по . Если цена пирожного рублей, то отдаем все монеты. Если цена пирожного – не круглое число, то “разбиваем” цену на круглое число (оплата десячками) и единицы (оплата монетами ).

Петя “укладывается” даже в монет, уж тем более ему хватит шестнадцати.

б) Нет, не может.

Чтобы иметь возможность оплатить пирожное стоимостью рубля, Петя должен иметь как минимум две монеты – и рубля.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью рубля, ему придется добавить к набору еще одну рублевую или двухрублевую монету. То есть в наборе должны быть монеты   или

Остается в запасе две монеты.

Если Петя добавит к взятым трем монетам только одну десятирублевую, а пятая – какая-то кроме десятирублевой, то сумма номинала монет не превзойдет рублей. Значит, Пете придется взять две десятирублевые монеты. Но тогда он лишается возможности оплатить пирожное стоимостью, например, рублей.

в) В пункте а было показано, что можно оплатить без сдачи любое пирожное стоимостью до рублей, имея монет.

Покажем, что монет не может быть меньше

Мы уже замечали, что в наборе должна содержаться тройка или монет. Далее если даже монет будут по рублей, то их общая сумма будет не больше рублей.