(ЕГЭ 2023, Досрок)

У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит. 

а)  Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$  рублей?

Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$

Решение:

а) Взяв монеты $1,2,2,5$ Петя может оплатить ими без сдачи пирожное стоимостью от $1$ до $10$ рублей. Добавляя к ним $9$ монет по $10$ рублей, Петя вполне может оплатить без сдачи пирожное любой стоимости уже до $100$ рублей включительно.

А именно. Если цена пирожного – круглое число (с одним нулем), оплачиваем пирожное монетами по $10$. Если цена пирожного $100$ рублей, то отдаем все монеты. Если цена пирожного – не круглое число, то “разбиваем” цену на круглое число (оплата десячками) и единицы (оплата монетами $1,2,2,5$).

Петя “укладывается” даже в $13$ монет, уж тем более ему хватит шестнадцати.

б) Нет, не может.

Чтобы иметь возможность оплатить пирожное стоимостью $3$ рубля, Петя должен иметь как минимум две монеты – $1$ и $2$ рубля.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью $4$ рубля, ему придется добавить к набору $1,2$ еще одну рублевую или двухрублевую монету. То есть в наборе должны быть монеты  $1,1,2$ или $1,2,2.$

Остается в запасе две монеты.

Если Петя добавит к взятым трем монетам только одну десятирублевую, а пятая – какая-то кроме десятирублевой, то сумма номинала монет не превзойдет $20$ рублей. Значит, Пете придется взять две десятирублевые монеты. Но тогда он лишается возможности оплатить пирожное стоимостью, например, $19$ рублей.

в) В пункте а было показано, что можно оплатить без сдачи любое пирожное стоимостью до $100$ рублей, имея $13$ монет.

Покажем, что монет не может быть меньше $13.$

Мы уже замечали, что в наборе должна содержаться тройка $1,1,2$ или $1,2,2$ монет. Далее если даже $9$ монет будут по $10$ рублей, то их общая сумма будет не больше $9\cdot 10+2+2+1=95$ рублей.