Описанная окружность

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны основание равно Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Воспользуемся следующей формулой:

Площадь будем искать по формуле Герона:

Тогда

Ответ:

Сторона треугольника равна Противолежащий ей угол равен Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Согласно теореме синусов

Ответ:

Угол треугольника вписанного в окружность радиуса равен Найдите сторону этого треугольника.

Угол равен (ведь он соответствующий для вписанного угла равного ) и при этом как радиусы. Следовательно, треугольник – равносторонний.
Тогда

Ответ:

В треугольнике угол равен Радиус описанной окружности этого треугольника равен Найдите

В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,

По теореме Пифагора

Ответ:

В треугольнике угол равен Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,

По теореме Пифагора

Ответ:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.

Воспользуемся формулой (теорема синусов):

Ответ:

Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Воспользуемся формулой (теорема синусов):

Ответ:

Высота правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Высоты правильного треугольника – медианы.
Медианы в точке пересечения (как раз центр описанной окружности) делятся в отношении считая от вершины.
Итак,

Ответ:

Точки расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как Найдите больший угол треугольника Ответ дайте в градусах.

Так как дуги относятся друг к другу как то пусть дуга градусов, дуга градусов, градусов.
Тогда

Тогда

Наконец, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то

Ответ:

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна угол при вершине, противолежащей основанию, равен Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

значит на дугу (большую) приходится Тогда на дугу остается Стало быть, центральный угол опирающийся на дугу равен
Равные хорды отсекают равные дуги, поэтому

Выходит, что треугольник – равнобедренный с углом Значит он равносторонний,

Ответ:

Одна сторона треугольника равна радиус описанной окружности равен Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов

( – острый по условию).

Ответ:

Угол четырехугольника вписанного в окружность, равен Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Вписанный в окружность угол опирается на дугу значит дуга по свойству вписанного угла.
Дуга дополняющая дугу до окружности, равна то есть
Тогда

Ответ:

Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол опирается на дугу

Значит,

Ответ:

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).
Если то
Если то
Угол и есть наибольший.

Ответ:

Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Так как градусные меры дуг и относятся соответственно как то пусть
градусов.
Дуги в сумме составляют

Угол опирается на дугу значит

Ответ:

Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.

значит дуга равна

значит дуга равна

Тогда

Стало быть,

Ответ:

Периметр правильного шестиугольника равен Найдите диаметр описанной окружности.

Рассмотрим треугольник Он равносторонний, т.к. и
Значит,

Ответ:

Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен Найдите

Рассмотрим треугольник
Он равнобедренный, так как
Значит,

Таких равных равнобедренных треугольников у нас штук, в сумме углы при вершине этих треугольников дают
Тогда

Ответ:

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны и

Радиус описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали.
По теореме Пифагора:

Ответ:

Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса

Диагональ квадрата – диаметр окружности.
Обозначим сторону квадрата за
Из треугольника по теореме Пифагора

Ответ:

Меньшая сторона прямоугольника равна Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.
Треугольник – равносторонний, так как
Значит,

Ответ:

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен средняя линия равна Найдите боковую сторону трапеции.

Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная
Средняя линия трапеции есть полусумма оснований при этом

Ответ:

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен большее основание равно Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

(где – основания высот, опущенных к большему основанию).
Из прямоугольного треугольника с углом в по свойству катета против угла в
Значит,

Окружность описана и вокруг треугольника
Треугольник равнобедренный с углом при вершине в
Значит,

Применяем теорему синусов:

где – радиус окружности, описанной около треугольника (и около трапеции ).

Ответ:

Основания равнобедренной трапеции равны и Радиус описанной окружности равен Найдите высоту трапеции.

Длина высоты трапеции есть сумма длин высот треугольников и
По теореме Пифагора из треугольника

По теореме Пифагора из треугольника

Тогда

Ответ:

Около окружности, радиус которой равен описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть

Ответ:

Около окружности, радиус которой равен описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Треугольники и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.
Из прямоугольного треугольника (где – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):

Ответ: