Вписанная окружность

Периметр треугольника равен а радиус вписанной окружности равен Найдите площадь этого треугольника.

где – полупериметр треугольника, – радиус вписанной окружности.

Ответ:

Площадь треугольника равна а радиус вписанной окружности равен Найдите периметр этого треугольника.

где – полупериметр треугольника, – радиус вписанной окружности.

Ответ:

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник – есть высоты так в правильном треугольнике высоты совпадают с медианами, а медианы в точке пересечения делятся в отношении считая от вершины.

Ответ:

Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник – есть высоты так в правильном треугольнике высоты совпадают с медианами, а медианы в точке пересечения делятся в отношении считая от вершины.
Из треугольника

Тогда

Ответ:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен Найдите сторону этого треугольника.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник – есть высоты так как в правильном треугольнике высоты совпадают с медианами, а медианы в точке пересечения делятся в отношении считая от вершины.
То есть
Пусть тогда
По теореме Пифагора для треугольника

Откуда
Ответ:

Около окружности, радиус которой равен описан многоугольник, периметр которого равен Найдите его площадь.

,

где – полупериметр многоугольника, – радиус вписанной окружности.

Ответ:

В четырехугольник вписана окружность, Найдите периметр четырехугольника.

Раз в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то
Тогда

Ответ:

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен

По условию три стороны четырехугольника относятся как пусть тогда, например,
В выпуклый четырехугольник вписана окружность, значит Тогда откуда
Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен то

Очевидно, большая сторона – это
Ответ:

Сторона ромба равна острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Пусть
В треугольнике против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы равной То есть
Высота ромба – и есть диаметр окружности, вписанной в ромб.
Стало быть,
Ответ:

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса

Высота трапеции – есть диаметр вписанной окружности в трапецию:

Ответ:

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны и Найдите среднюю линию трапеции.

Раз в трапецию вписана окружность, значит , что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).
Итак,
А поскольку средняя линия – есть полусумма оснований, то

Ответ:

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен ее большая боковая сторона равна Найдите радиус окружности.

Раз в трапецию вписана окружность, значит
И так как то
Поскольку по условию, то
Далее,

Ответ:

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен

Шестиугольник составлен из правильных равных треугольников.
Рассмотрим правильный треугольник
В нем

– медиана и высота;

Ответ:

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной

Пусть – середина

Ответ:

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Обозначим временно катеты за Тогда гипотенуза есть
Тогда

Итак,

Ответ:

В треугольнике стороны угол равен Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой:

Ответ:

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны основание равно Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой Герона:

где – полупериметр, – стороны треугольника.
Поскольку

то

Наконец,

Ответ:

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны и считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, а поскольку еще – середина то

Ответ:

К окружности, вписанной в треугольник проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны Найдите периметр данного треугольника.

По свойству отрезков касательных имеем:

и т.д. (см. рис.)

Значит,

Суммируем построчно последние три равенства:

Ответ: