Комбинации тел

В куб вписан шар радиуса Найдите объем куба.

Ребро куба – диаметр шара.
Тогда

Ответ:

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен Найдите радиус сферы.

Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы – куб.
Поэтому

где – ребро куба.
Откуда
Тогда

Ответ:

Шар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.

Поскольку ребро куба – диаметр шара, то

Ответ:

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен Объем параллелепипеда равен Найдите высоту цилиндра.

Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.
Радиус основания цилиндра равен значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна

откуда

У цилиндра и прямоугольного параллелепипеда высоты совпадают, значит и высота цилиндра равна
Ответ:

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны Найдите объем параллелепипеда.

Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.
Радиус основания цилиндра равен значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна

Ответ:

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Высота призмы равна высоте цилиндра.
В основании правильной призмы – квадрат.
Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).
Площадь боковой поверхности призмы есть сумма площадей 4-x равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это и
Поэтому

Ответ:

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Диагональ квадрата – диаметр основания цилиндра:

Тогда

Ответ:

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна Найдите площадь поверхности шара.

Так как площадь поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой есть то

Но при этом высота цилиндра – это диаметр шара, то есть
Поэтому

Откуда

Площадь же поверхности шара вычисляется по формуле

Поэтому

Ответ:

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен Найдите объем шара.

Объем цилиндра с радиусом основания и высотой есть

По условию поэтому

При этом стало быть

Объем же шара вычисляется по формуле

Значит

Ответ:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен Найдите объем конуса.

Объем шара есть

По условию объем шара равен поэтому

откуда

Объем же конуса с радиусом основания и высотой есть

Ответ:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен Найдите объем шара.

Согласно условию

Тогда

Ответ:

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен Найдите образующую конуса.

Радиус сферы равен высоте конуса.

Ответ:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен

Объем цилиндра:

а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой есть

Тогда

Ответ:

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен

Ответ:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Поскольку по условию то

Ответ:

Вершина куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину

Куб плоскостями граней отсекает от сферы часть. Значит, и площадь поверхности части сферы, содержащейся внутри куба, будет от площади поверхности сферы. А поскольку радиус сферы – есть ребро куба, то

Наконец,

Ответ:

Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите

Ответ:

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания и высотой Найдите его объем, деленный на

Объем конуса есть

(где – радиус основания конуса, высота конуса).
Высота известна, найдем радиус основания конуса:
В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке
Из прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника

где
Откуда

Тогда

Наконец,

Ответ:

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения радиусов оснований конусов (а точнее – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).
Выясним, в каком отношении находятся между собой и
Из равнобедренного так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника (см. рис):

Тогда

А значит, отношение объемов конусов таково:

Ответ:

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен а высота равна

где – сторона основания, – высота призмы.
Найдем
Пусть – центр основания. Тогда Стало быть,

Наконец,

Ответ:

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Объем цилиндра:

Найдем радиус основания цилиндра:
Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы, то есть

Так как высота призмы по условию равна то и высота цилиндра тоже равна
Наконец,

Ответ:

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен а высота равна

В основании призмы – правильный треугольник. Пусть его сторона –

(см. рис.).

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех равных друг другу прямоугольников с измерениями (сторона основания) и (высота призмы).

Ответ:

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен а высота равна

Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями (сторона основания) и (высота призмы).
Выразим через заданный
Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).
Высота (радиус вписанной окружности) является и биссектрисой, и медианой.
Из треугольника

Подставляя известное значение имеем:

Тогда

Ответ:

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на

Диаметр шара есть диагональ куба (на рис.)
Если ребро куба равно то диагональ есть

(дважды применили теорему Пифагора, к каждому из треугольников, выделенных цветом на рис.).
Итак, диагональ куба (диаметр шара) равна Поэтому радиус шара равен
Итак, объем шара таков:

Наконец,

Ответ:

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара – есть диагональ куба (см. рис.)
Пусть – ребро куба. Тогда

C учетом условия имеем:

Итак,

Ответ:

Площадь поверхности тетраэдра равна Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Видео.

Поверхность искомого многогранника состоит из граней – треугольников.
Площадь каждого такого треугольников из пары (на рисунке выделены одним цветом) в раза меньше площади соответствующей грани тетраэдра.
Тогда (подробнее смотри в видео) сумма площадей граней многогранника есть половина поверхности тетраэдра. То есть
Ответ:

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра – есть разность объемов исходного тетраэдра и объемов четырех тетраэдров, объем каждого из которых составляет объема исходного тетраэдра (так как объемы подобных тел относятся друг к другу как куб коэффициента подобия).
Итак,

Ответ: