Конус

Высота конуса равна образующая равна Найдите его объем, деленный на

Объем конуса вычисляется по формуле где – радиус основания, – высота конуса.
Находим радиус основания по теореме Пифагора (см. на рисунке треугольник ):

Тогда

Откуда

Ответ:

Высота конуса равна а диаметр основания – Найдите образующую конуса.

Найдем образующую конуса из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
При этом заметим, что

Ответ:

Длина окружности основания конуса равна образующая равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса есть

где – радиус основания конуса и образующая конуса.
А поскольку длина окружности основания конуса равна и равна по условию, то

Тогда

Ответ:

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного Найдите его объем, деленный на

В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также
Поэтому

Тогда

Ответ:

Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите

где – радиус основания конуса, – высота.
Высота конуса как катет напротив угла в равен половине гипотенузы длиной то есть равен
При этом по теореме Пифагора

Тогда

Ответ:

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в раз?

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от и так как

– радиус, образующая конуса)
Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в раз.
Ответ:

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в раз?

– объем конуса.
Если высоту уменьшаем в раз, то и объем уменьшается в раз.
Ответ:

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в раз, а высота останется прежней?

– объем конуса.
Увеличение радиуса основания в раз повлечет за собой увеличение объема конуса в то есть в раз.
Ответ:

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Согласно условию

– радиус основания конуса, образующая конуса).
Откуда

Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен
Ответ:

Объем конуса равен Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Отсекаемый конус подобен исходному и – коэффициент подобия.
Как известно, объемы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Тогда объем отсекаемого конуса в раз (так как меньше объема исходного, то есть равен
Ответ:

Площадь полной поверхности конуса равна Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Малый отсеченный конус подобен исходному с коэффициентом подобия Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Поэтому площади поверхностей будут отличаться в раза.
Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть
Ответ:

Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите

где (так как напротив угла лежит катет, вдвое меньший гипотенузы
и

Поэтому

Откуда

Ответ:

Диаметр основания конуса равен а угол при вершине осевого сечения равен Вычислите объем конуса, деленный на

Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти радиус основания и высоту конуса так как

Треугольник образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.
Середина гипотенузы является центром описанной окружности около треугольника А значит Поэтому, так как диаметр основания равен то
Наконец,

Откуда

Ответ:

Площадь основания конуса равна высота — Найдите площадь осевого сечения конуса.

Согласно условию

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с основанием и высотой проведенной к этому основанию.
Значит,

Ответ:

Площадь основания конуса равна Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной и считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному и коэффициент подобия Площади оснований конусов отличаются тогда в раз.
Тогда площадь сечения конуса указанной плоскостью равна
Ответ:

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите

Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания и высотой
Поэтому

Откуда

Ответ:

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия
Так как объемы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия, то объем исходного конуса есть объемов отсеченного конуса ). Стало быть, на усеченный конус приходится объемов отсеченного (малого) конуса.
То есть объем усеченного конуса (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть
Ответ: