Куб. Параллелепипед

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину диагонали

Покажем, что для прямоугольного параллелепипеда

Действительно, из треугольника

Из треугольника

Подставляя в получаем:

Итак,

Ответ:

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого Ответ дайте в градусах.

По теореме Пифагора из треугольника

Значит, прямоугольный треугольник – равнобедренный
Поэтому

Дополнение:
Почему треугольник прямоугольный?
Нам дан прямоугольный параллелепипед, значит ребро перпендикулярно грани
Тогда перпендикулярно любой прямой плоскости в частности, по свойству прямой, перпендикулярной плоскости.
Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер Найдите синус угла между прямыми и

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между и так как
Из треугольника

Ответ:

Объем куба равен Найдите площадь его поверхности.

Для куба с ребром

По условию объем куба равен поэтому

Для куба с ребром площадь поверхности такова:

Поэтому

Ответ:

Диагональ куба равна Найдите его объем.

Как мы знаем из задачи 1, диагональ куба с ребром находится следующем образом:

По условию диагональ куба равна Поэтому

Наконец,

Ответ:

Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.

Для куба с ребром площадь поверхности такова:

Поэтому, согласно условию

Нам же требуется найти диагональ куба ( например).

(см. задачу 1);

Итак,

Ответ:

Объем куба равна Найдите его диагональ.

Как мы знаем из задачи 1, диагональ куба с ребром находится следующем образом:

Поэтому

Ответ:

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Если ребро куба увеличить в раз, то получим куб, подобный первоначальному (с коэффициентом подобия ). Объемы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Таким образом, объем увеличится в раз.
Ответ:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в раза?

Если ребро куба увеличить в раза, то получим куб, подобный первоначальному (с коэффициентом подобия ). Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Таким образом, площадь поверхности увеличится в раз.
Ответ:

Объем одного куба в раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия.
Тогда

Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия.
Поэтому площадь поверхности первого куба в раза больше площади поверхности второго.
Ответ:

Если каждое ребро куба увеличить на то его площадь поверхности увеличится на Найдите ребро куба.

Пусть ребро исходного куба равно тогда ребро увеличенного куба равно площадь поверхности –
Так как площадь поверхности куба с ребром равна то разность площадей поверхностей кубов есть

По условию разность площадей поверхностей кубов равна поэтому

Ответ:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Площадь поверхности этого параллелепипеда равна Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Пусть известные ребра – и искомое ребро –
Площадь поверхности параллелепипеда с ребрами находится по формуле

Подставляем в формулу известные величины:

Ответ:

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Найдите ребро равновеликого ему куба.

Для прямоугольного параллелепипеда:

Пусть ребро куба – Тогда

Ответ:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Диагональ параллелепипеда равна Найдите объем параллелепипеда.

где – ребра параллелепипеда, –диагональ.
Исходя их условия, получаем:

Откуда

Объем параллелепипеда с ребрами есть то есть

Ответ:

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда (прямой призмы) равен

где – высота призмы (в данном случае – ребро, перпендикулярное грани, площадь которой известна).
Поэтому,

Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и

Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и – это прямоугольник

Ответ:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы и с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть рассматриваемая диагональ –
Угол между диагональю и плоскостью нижнего основания – есть угол так как – проекция наклонной на плоскость основания.
Угол между диагональю и плоскостью боковой грани – есть угол так как – проекция наклонной на плоскость
Аналогично угол между диагональю и плоскостью грани – есть угол
Пусть (если градусные меры углов распределяться иначе (в другом порядке), – это никак не повлияет на решение).
Итак, в прямоугольных треугольниках против углов в лежат катеты, вдвое меньшие гипотенузы то есть
Прямоугольный треугольник – равнобедренный с гипотенузой поэтому его катеты равны (например потому, что откуда ).
Итак, ребра прямоугольного параллелепипеда равны
Тогда объем параллелепипеда равен
Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде ребро ребро ребро Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки

Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам.
Поэтому четырехугольник (требуемое сечение) – параллелограмм. Более того, так как перпендикулярно грани
А параллелограмм с прямым углом – это прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника

Так как

то

Ответ:

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол Найдите объем параллелепипеда.

Пусть – квадрат, – заданная диагональ.
Проекция на – поэтому
Но тогда как катет против угла в равен половине гипотенузы то
Далее,
Наконец,

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Многогранник с вершинами в точках – пирамида с основанием

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

– прямая треугольная призма.

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Ответ:

Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Ответ:

В кубе точка — середина ребра точка — середина ребра точка — середина ребра Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники Они прямоугольные, равнобедренные, при этом все катеты равны половине ребра куба.
То есть треугольники равны друг другу.
Значит, равны и гипотенузы этих треугольников как соответствующие элементы равных треугольников.
То есть треугольник – равносторонний, а значит
Ответ: