Пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка

Пирамида – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр (точку пересечения диагоналей) квадрата.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

Ответ:

В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Пирамида – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр (точку пересечения диагоналей) квадрата.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Пирамида – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр (точку пересечения диагоналей) квадрата.
Из прямоугольного треугольника

Тогда
Ответ:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды – площади боковой грани, например, грани

Тогда

Ответ:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды:
Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат (и вершина проецируется в центр основания), а значит
Площадь же боковой поверхности есть площади боковой грани (например, ).
где – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию
По теореме Пифагора:

Тогда

Наконец,

Ответ:

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле

При этом

Тогда

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

где

а

Итак,

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Указанное сечение пирамиды – квадрат, подобный квадрату основания.
Как известно, площади подобных фигур находятся в отношении где – коэффициент подобия.
В нашем случае
Итак,

Ответ:

Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Пусть – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – высота –
Для первой пирамиды имеем:

Для второй пирамиды имеем:

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Пусть – середина Тогда в равнобедренном треугольнике медиана является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и Тогда – угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Так как то пусть Заметим, также.
Из треугольника по теореме Пифагора:

Из треугольника по теореме Пифагора:

Но при этом по условию тогда

Итак, сторона основания пирамиды – есть
Ответ:

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Треугольники – равные прямоугольные треугольники (общий катет и
Заметим, треугольник – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона равна то есть
Найдем из треугольника

Тогда площадь основания есть

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

Ответ:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному
Площади поверхностей подобных тел относятся находятся в отношении где – коэффициент подобия.
Итак, площадь поверхности увеличится в раз.
Ответ:

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному
Объёмы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия.
Итак, объем увеличится в раз.
Ответ:

В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка

Объем пирамиды вычисляется по формуле

– и есть высота пирамиды (у правильной пирамиды в основании лежит правильный треугольник и вершина проецируется в центр основания, а центр основания в правильном треугольнике и есть точка пересечения медиан).
Тогда

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида – правильная, поэтому боковые грани – равные между собой треугольники.
Поэтому
Площадь треугольника будем искать по формуле
Заметим при этом, так как пирамида правильная, значит, в частности, в основании – правильный треугольник. Тогда медиана является и высотой.
А значит, по теореме о трех перпендикулярах,
Итак,

Ответ:

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Итак,

Ответ:

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Итак,

Ответ:

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда в основании у нас – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами Его площадь –
Высота пирамиды –
Тогда

Ответ:

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра Найдите объем треугольной пирамиды

Площадь основания пирамиды вдвое меньше площади основания пирамиды
– середина высота пирамиды вдвое меньше высоты пирамиды
Стало быть, объем пирамиды в раза меньше объема пирамиды
Итак, объем пирамиды равен
Ответ:

Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

— средние линии равных треугольников с общим основанием Значит, отрезки — параллельны и равны, следовательно, четырехугольник — параллелограмм.
Но и — параллельны и равны, значит — ромб.
Докажем, что — еще и квадрат. Действительно, угол между и — угол между и которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной перпендикулярна некоторой прямой плоскости то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой).
Итак, — квадрат со стороной Его площадь равна
Ответ:

От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Коэффициент подобия треугольников и –
Значит, площадь треугольника в раза больше площади треугольника
Высоты пирамид и совпадают.
Поэтому объем отсеченной треугольной пирамиды есть
Ответ:

От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Объем призмы есть объем пирамиды есть (основания и высоты одинаковы).
То есть объем отсеченной пирамиды есть объема призмы, а именно
Тогда объем оставшейся части равен
Ответ:

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле то при увеличении высоты в раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.
Ответ:

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

(все боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники (равнобедренные)).

Наконец,
Ответ:

Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Основание пирамиды – правильный шестиугольник. Его площадь – сумма площадей шести равных друг другу правильных треугольников со стороной
Площадь правильного треугольника со стороной есть
Значит, площадь основания есть
Тогда

Из прямоугольного треугольника, например, по теореме Пифагора:

Ответ:

Объем треугольной пирамиды являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1, 2.

Пирамиды и имеют одинаковые высоты.
Площадь шестиугольника со стороной есть

Площадь же треугольника есть

Видим, что
Согласно условию:

Тогда

Ответ:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна боковое ребро равно Найдите объём пирамиды.

Основание состоит из шести правильных равных треугольников

Из треугольника по теореме Пифагора:

Наконец,

Ответ:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен Найдите объем пирамиды.

Пусть – середина Тогда в равнобедренном треугольнике медиана является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и Тогда – угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Из треугольника

Прямоугольный треугольник – равнобедренный, так как по условию. Тогда

Далее,

Наконец,

Ответ:

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Высоты у пирамид одинаковые, поэтому

Заметим,

Тогда

Ответ:

Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

где – высота параллелепипеда.

Ответ:

Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Высота пирамиды – половина высоты куба.

Ответ:

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде  высота  равна диагональ основания  равна Точки — середины ребер  соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью  и плоскостью основания .

Ответ: