Призма

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна а площадь поверхности равна

В основании правильной четырехугольной призмы – квадрат и боковое ребро призмы перпендикулярно основанию.

То есть ( – длина бокового ребра призмы):

Ответ:

В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.

Ответ:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и боковое ребро равно Найдите объем призмы.

Объем призмы вычисляется по следующей формуле:

( – высота, в данном случае и боковое ребро прямой призмы).
При этом в основании – прямоугольный треугольник, площадь которого находится как полупроизведение катетов:

Тогда

Ответ:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и высота призмы равна Найдите площадь ее поверхности.

где

а боковая поверхность состоит из трех прямоугольников и (гипотенуза при катетах и равна

Тогда

Ответ:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и Площадь ее поверхности равна Найдите высоту призмы.

Заметим, гипотенуза при катетах и равна

Ответ:

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

При увеличении всех ребер в два раза получаем призму, подобную данной с коэффициентом подобия

Как известно, площади поверхностей подобных тел находятся в отношении если – коэффициент подобия.
Таким образом, площадь поверхности новой призмы будет такова:

Ответ:

В правильной треугольной призме все ребра которой равны найдите угол между прямыми и Ответ дайте в градусах.

Правильная треугольная призма – прямая призма, у которой в основании – правильный треугольник.
Так как то угол между прямыми и – есть угол между прямыми и
А так как призма – правильная, то, в частности, она прямая, то есть что означает, что – прямоугольный.
При этом – равнобедренный, так как по условию все ребра призмы равны.
Значит,
Ответ:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными и и боковым ребром, равным

Площадь поверхности призмы:

Площадь ромба с диагоналями

поэтому

Боковая поверхность данной прямой призмы – четыре равных прямоугольника.

Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по теореме Пифагора из треугольника (по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):

Итак,

Наконец,

Ответ:

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в и равно Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда находим по формуле

где – высота параллелепипеда.
Площадь ромба с заданной стороной и углом есть
Подставляя известные величины, получаем:

Угол между ребром (например, ) и гранью основания – есть угол между этим ребром и проекцией ребра на плоскость основания ( где – проекция точки на ), то есть
В прямоугольном треугольнике

Итак,

Ответ:

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна а высота —

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

Ответ:

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны а боковые ребра равны

Основание правильной шестиугольной призмы составлено из шести равных правильных треугольников со стороной поэтому

Тогда

Ответ:

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и

Правильная шестиугольная призма – прямая призма, у которой в основании – правильный шестиугольник.
будем искать из прямоугольного треугольника
Для этого нам предстоит найти
(правильный шестиугольник состоит из шести равных друг другу правильных треугольников).
Тогда по теореме Пифагора

Ответ:

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Треугольник – прямоугольный с известным катетом равным
Найдем второй катет из равнобедренного треугольника по теореме косинусов:

Итак, возвращаемся к треугольнику

Значит,

Ответ:

В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны найдите угол между прямыми и Ответ дайте в градусах.

Угол между искомыми скрещивающимися прямыми и – угол между прямыми и так как
А угол между прямыми и равен
Ответ:

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите тангенс угла

Ответ:

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки до отметки Найдите объем детали. Ответ выразите в

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой и основанием, равным основанию исходной призмы. То есть объем вытесненной жидкости составляет объема жидкости.
Итак, объем детали есть

Ответ:

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Объем воды, налитой в призму до уровня есть

Переливаем воду в другой сосуд в виде призмы с основанием, каждая сторона которого втрое больше стороны основания первого сосуда. Тогда (так как основания подобны и а, как известно, площади подобных фигур находятся в отношении ).
Пусть – уровень воды во втором сосуде. Объем перелитой воды тот же!!!

Откуда

Ответ:

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Площадь каждой боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна
Ответ:

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен Найдите объем исходной призмы.

Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то площадь основания отсеченной призмы меньше площади основания исходной в раза (основания (как треугольники)) подобны друг другу с коэффициентом подобия значит площади находятся в отношении
Высоты призм совпадают.
Поэтому объем исходной призмы в раза больше объема отсеченной призмы, то есть равен
Ответ:

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом

Объем призмы есть где – высота призмы, – площадь основания.

Площадь основания – площадей правильных треугольников со стороной

Высота же есть половина бокового ребра призмы (см. рис. (высота – катет, противолежащий углу в в прямоугольном треугольнике):

Тогда

Ответ:

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно и отстоит от других боковых ребер на и Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы есть

где – длина бокового ребра, – периметр перпендикулярного сечения призмы (это сечение – прямоугольный треугольник согласно условию).
В нашем случае а (третью сторону сечения находим по теореме Пифагора:
Тогда

Ответ:

В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер и и точку

Указанное сечение – прямоугольник

Ответ:

В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер и

Указанное сечение – прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы, вторая – половине стороны основания.

Ответ:

Объём куба равен Построено сечение проходящее через середины рёбер и и параллельное ребру Найдите объём треугольной призмы

Куб и треугольная призма имеют одинаковую высоту, назовем ее
Треугольник подобен и тогда

Откуда

Итак,

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Будем искать объем многогранника через разность объемов призмы и пирамиды

Тогда

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Ответ:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Основание треугольной призмы занимает шестую часть основания шестиугольной призмы, высоты двух призм одинаковые.

Ответ:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Ответ:

Кусок льда представляет собой правильную шестиугольную призму высотой  см. Его планируют расплавить и вновь заморозить так, чтобы получилась правильная треугольная призма, сторона основания которой в раза больше стороны основания исходной. Чему будет равна её высота? Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть сторона основания шестиугольной призмы —

Тогда объем правильной шестиугольной призмы с ребром основания и высотой есть

Тот же объем будет иметь переплавленный кусок льда, сторона основания которого теперь и высота

Тогда

Ответ: