Исследование функции
Найдите точку максимума функции
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.
В точке возрастание сменяется убыванием, значит – точка максимума.
Ответ:
Найдите точку минимума функции
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.
В точке убывание сменяется возрастанием, значит – точка минимума.
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
или
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем интересует только поведение функции на отрезкеНаименьшее значение функции в данном случае (см. замечание внизу стр.) совпадает с минимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
Наибольшее значение функции в данном случае (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
Наибольшее значение функции в данном случае (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Наибольшее значение на отрезке функция принимает в левом конце отрезка, в точке
Ответ:
Найдите точку максимума функции
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.
Тогда точка – точка максимума функции.
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
при
На указанном отрезке функция возрастает, тогда наибольшее значение будет достигнуто в точкеОтвет:
Найдите точку минимума функции
Нам предстоит находить производную частного:
Стало быть, – точка минимума.
Ответ:
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.
Стало быть, – точка минимума.
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
Наименьшее значение функции в данном случае (см. замечание внизу статьи) совпадает с минимумом функции (в точке
Ответ:
Найдите точку максимума функции
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:
Точка максимума – это
Ответ:
Найдите точку минимума функции
или
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.Точка минимума –
Ответ:
Найдите точку максимума функции
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции.
Точка максимума:
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
или
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезокНаименьшее значение функции на отрезке совпадает с минимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
На отрезке мы увидим знаки производной и поведение функции, показанные на рисунке.
Наибольшее значение функции на отрезке совпадает с максимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
На отрезке мы увидим знаки производной и поведение функции, показанные на рисунке.
Наименьшее значение функции на отрезке совпадает с максимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок
Наименьшее значение функции на отрезке совпадает с минимумом функции в точке
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
в случае то есть при
Заметим,
Очевидно, – точка минимума. В ней и будет достигаться наименьшее значение функции.
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
На отрезке мы видим следующее распределение знаков производной (для определения знака можно взять, например, значение из первого образовавшегося промежутка и проверить знак
При переходе через точку экстремума знак производной сменится.
То есть, точка – точка максимума. В ней и достигается наибольшее значение функции на отрезке.
Ответ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Так как
то
То есть при любом Функция возрастает на на указанном отрезке в том числе.
То есть наибольшее значение будет достигнуто в точке (правом конце отрезка).
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Так как то Таким образом, при любом
Функция убывает при любом в том числе и на отрезке Стало быть, достигает своего наименьшего значения на указанном отрезке в правом его конце, в точке
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Производная неотрицательна, на указанном отрезке в том числе, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшее значение достигается функцией в левом конце отрезка, в точке
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Замечаем, что функция определена на отрезке Замечаем также, что в точке производная функции имеет знак минус – действительно, При переходе через точки экстремума знак производной меняется.
Становится видно, что – точка максимума, точка – точка минимума.
Для нахождения наименьшего значения функции на указанном отрезке следует взять меньшее из
То есть наименьшее значение функции на указанном отрезке –
Ответ:
Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку
На промежутке производная имеет один ноль – в точке
Заметим, например,
Становится видно, что при переходе через точку производная меняет знак с на Стало быть, – точка минимума.
Ответ:
Найдите точку минимума функции
Последняя скобка произведения всегда положительна. Производная обращается в точке Это и есть наша точка минимума, как несложно заметить по знакам производной при переходе через нее.
Ответ:
Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!
Например, на рисунке наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка а именно, в точке
То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:
1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка
2)
При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:
1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка
2)
Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.
Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.
В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.
То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:
1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка
2)
При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:
1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка
2)
Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.
Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.
В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.
Решать аналоги самостоятельно