Объемы многогранников

Все рёбра правильной треугольной призмы равны Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите объём пирамиды где — это сечение призмы плоскостью

а) Пусть пересекается с в точке Пусть пересекается с в точке
сечение призмы плоскостью
Заметим, (по свойству прямой, параллельной плоскости). Действительно, исходя из того, что параллелограмм,, а значит параллельна плоскости по признаку параллельности прямой и плоскости. Откуда следует, что плоскости пересекаются по прямой, параллельной то есть
Таким образом, сечение призмы плоскостью — трапеция.
Равенство же боковых сторон трапеции вытекает из равенства треугольников по двум катетам (уже упоминали и ( средняя линия в правильном треугольнике)).
Итак, равнобедренная трапеция.

б) Для нахождения объема пирамиды помимо площади трапеции нам нужно знать расстояние от точки до плоскости сечения (высоту пирамиды).
Заметим, точки равноудалены от плоскости сечения так как
Переключимся на точку
Пусть середина Тогда в правильном треугольнике По теореме о трех перпендикулярах и
Таким образом по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Откуда где
Итак,
Так как то

Далее, средняя линия треугольника

Наконец,

Ответ: б)

Дана правильная четырёхугольная призма Точка лежит на стороне  — середина Точка делит таким образом, что  — равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что
б) Найдите объём призмы, если известно, что

а) Отрезки четырёхугольника лежат в параллельных плоскостях, значит именно они (согласно свойству параллельных плоскостей) будут параллельными сторонами четырёхугольника, то есть основаниями трапеции Докажем, что
Пусть Тогда
согласно условию.
Треугольники подобны по двум углам а углы образованы соответственно параллельными прямыми и Тогда

откуда то есть
б)
Как только найдём задача будет решена.

Из условия получаем:

Итак,

Ответ: