Расстояние между прямыми и плоскостями
Сборник реальных заданий ЕГЭ №14 последних лет
Ребро пирамиды равно все остальные рёбра равны .
а) Докажите, что прямые перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми
а) Докажите, что прямые перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми
а) Пусть — середина
Медианы высоты в равнобедренных треугольниках
б) Пусть — середина
Треугольники равны, следовательно Стало быть, медиана треугольника является и высотой в нем, то есть
Замечаем так же, и- условия следует
Итак,
Медианы высоты в равнобедренных треугольниках
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Учитывая, что , получаем —б) Пусть — середина
Треугольники равны, следовательно Стало быть, медиана треугольника является и высотой в нем, то есть
Замечаем так же, и- условия следует
Итак,
— расстояние между прямыми
Ответ:
Дана четырёхугольная пирамида в основании которой лежит ромб со стороной Известно, что и
а) Докажите, что ребро перпендикулярно плоскости основания пирамиды
б) Найдите расстояние между прямыми и
а) Докажите, что ребро перпендикулярно плоскости основания пирамиды
б) Найдите расстояние между прямыми и
а) Пусть Заметим, по свойству диагоналей ромба — медиана в равнобедренном
Раз и то а значит
Какой ещё прямой плоскости перпендикулярна прямая
Так как то то есть — и есть общий перпендикуляр к и
Раз и то а значит
Какой ещё прямой плоскости перпендикулярна прямая
Тогда
Тогда замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, — прямоугольный, так как Итак,
Из и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Проведем в плоскости из точки перпендикуляр кТак как то то есть — и есть общий перпендикуляр к и
(см. рис.);
Ответ:
Дана прямая призма — равнобедренный треугольник с основанием На отмечена точка такая, что Точка делит пополам ребро Точка делит пополам ребро Через точку проведена плоскость перпендикулярная
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок если и
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок если и
а) Пусть тогда Пусть — середина тогда
Но и значит то есть — высота
Пусть тогда — середина В плоскости построим
Тогда
Но и значит то есть — высота
по теореме о 3-х перпендикулярах
Пусть тогда — середина В плоскости построим
Плоскость содержит в себе прямую параллельную значит
б)
откуда и
Тогда
Ответ:
В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями Точка делит ребро в отношении а точка — середина ребра
а) Докажите, что плоскость делит отрезок пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если
а) Докажите, что плоскость делит отрезок пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если
пересечет эти плоскости по параллельным прямым.
Пусть
Пусть
— сечение призмы плоскостью
Тогда
Заметим, Тогда
Пусть
по катету и острому углу таким образом — середина
б)Пусть
— сечение призмы плоскостью
Пусть
Тогда
Найдём
Заметим, Тогда
Наконец,
Ответ:
В правильной треугольной призме все рёбра равны Точка — середина ребра
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и
a) Пусть точка принадлежит прямой и Тогда
Докажем, что это и будет означать, что прямые и перпендикулярны.
Из треугольника
Итак, прямые и перпендикулярны.
б) Так как прямая параллельна плоскости то расстояние между прямыми и – есть расстояние от любой точки прямой (пусть от до плоскости
Расстояние от до – длина высоты пирамиды с вершиной
С одной стороны,
Поэтому,
Итак,
Докажем, что это и будет означать, что прямые и перпендикулярны.
Из треугольника
Из треугольника
Из треугольника
Так как то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол в треугольнике – прямой.
Итак, прямые и перпендикулярны.
б) Так как прямая параллельна плоскости то расстояние между прямыми и – есть расстояние от любой точки прямой (пусть от до плоскости
Расстояние от до – длина высоты пирамиды с вершиной
С одной стороны,
с другой стороны,
где – высота пирамиды c вершиной
Поэтому,
Очевидно, расстояние от точки до плоскости равно длине высоты треугольника то есть
Итак,
Ответ:
- раздел в разработке