Расстояние от точки до плоскости

В основании пирамиды лежит прямоугольник со стороной диагональю
Все боковые ребра пирамиды равны На диагонали основания отмечена точка на ребре точка так что
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру
б) Плоскость пересекает ребро точке Найдите расстояние от точки до плоскости

а) Пусть пересекается с в точке
по двум углам и Тогда
Замечаем, в треугольнике откуда
лежит в значит по признаку параллельности прямой и плоскости

б) Так как все боковые ребра пирамиды равны, то вершина проецируется в центр описанной окружности основания, то есть в точку пересечения диагоналей прямоугольника назовем ее
По свойству прямой, параллельной плоскости, раз то пересечет по прямой, параллельной Таким образом,
Поскольку то и
Пусть проецируется в точку
Так как и то
Треугольники подобны и коэффициент подобия есть Тогда

Итак,

Ответ:

Точки и являются соответственно серединами рёбер куба Ребро куба равно Через точки и проведена плоскость пересекающая ребра и в точках и соответственно, при этом Плоскость пересекает луч в точке
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от вершины до плоскости

а) пересекается с в точке а с в точке
Треугольники подобны по двум углам, откуда (*)
Пусть
Проводя в трапеции высоту из точки приходим через теорему Пифагора в образовавшемся треугольнике к следующему:

Итак, возвращаясь к (*), получаем:

откуда

б) Из условия вытекает, что средняя линия треугольника Так как то и так как Пусть пересекается с в точке проекция наклонной на По теореме о трех перпендикулярах и Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Откуда перпендикулярна любой прямой плоскости в частности, перпендикулярна прямой которую, в свою очередь, мы проведем перпендикулярно
Итак, значит расстояние от точки до плоскости
Из треугольника

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде точка делит сторону в отношении считая от вершины точка делит сторону в отношении считая от вершины Через точки и параллельно проведена плоскость
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости если известно, что

a) Построим сечение пирамиды плоскостью
Так как параллельна то плоскость в которой лежит пересечет по некоторой прямой параллельной проходящей через точку по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть пересекает в точке Аналогично, плоскость пересечет по прямой параллельной
Так как и (по признаку параллельности прямых), то сечение пирамиды плоскостью  — параллелограмм по признаку параллелограмма. Покажем, что что и будет означать, что параллелограмм  — прямоугольник.
Заметим, так как и проекция прямой на плоскость прямая — проекция на перпендикулярна (теорема о трех перпендикулярах).
Так как то (по теореме, обратной теореме Фалеса) И так как, говорилось ранее, то угол между прямыми равен углу между прямыми Итак,  — прямой.
Сечение пирамиды плоскостью  — прямоугольник.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть пересекается с в точке а с  — в точке
 — прямая пересечения плоскостей
Заметим, так как содержит перпендикуляр к плоскости (признак перпендикулярности плоскостей). Действительно, что очевидно, и по теореме о трех перпендикулярах  — проекция на
Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если мы проведем перпендикуляр в плоскости к то он окажется перпендикуляром к
То есть  — расстояние от точки до
Поскольку коэффициент подобия треугольников  — то где  — высота треугольника
Далее, то

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде точка делит сторону в отношении считая от вершины точка делит сторону в отношении считая от вершины Через точки и параллельно проведена плоскость
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью параллельно прямой
б) Найдите расстояние от точки до плоскости если известно, что

a) Так как то (по теореме, обратной теореме Фалеса)
Но тогда, так как лежит в по признаку параллельности прямой и плоскости.
Что и требовалось доказать.
Построим сечение пирамиды плоскостью
Пусть  — середина Пусть  — точка пересечения и
Так как то плоскость пересечет по некоторой прямой (проходящей через точку параллельной (по свойству прямой, параллельной плоскости). Пусть пересекается с в точке Так как то пересечет (в которой лежит по прямой, параллельной опять же, по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть точки пересечения указанной прямой со сторонами  — и
Трапеция  — сечение пирамиды плоскостью
б) Так как то
Заметим, так как содержит прямую перпендикулярную (признак перпендикулярности плоскостей). Действительно, что очевидно, а также по теореме о трех перпендикулярах  — проекция на
Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если то Стало быть,
Коэффициент подобия треугольников  — следовательно, где  — высота треугольника проведенная к

Ответ:

Дан тетраэдр на рёбрах отмечены точки соответственно так, что а  — квадрат со стороной
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до если известно, что объём тетраэдра равен

а)
лежит в значит (по признаку параллельности прямой и плоскости).
. Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, Значит, так как то и (*)
лежит в значит по признак у параллельности прямой и плоскости.
Тогда по свойству прямой, параллельности плоскости,
Значит, согласно (*) и
Что и требовалось доказать.
б)
Распишем объем пирамиды разным и способами;

где высота, опущенная из точки на плоскость искомое расстояние от точки до плоскости

так как

где расстояние то точки до

Откуда

Ответ: