ЕГЭ №14. Отношения, сечения

В правильной четырёхугольной пирамиде известно, что Через точку — пересечение диагоналей основания — перпендикулярно ребру проведена плоскость
а) Докажите, что плоскость проходит через вершины и
б) В каком отношении плоскость делит ребро считая от вершины если площадь сечения равна

а) Пусть — точка пересечения диагоналей
Пусть (*)
Заметим, — проекция на плоскость При этом (свойство диагоналей квадрата). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах (**)
Таким образом из (*) и (**) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Плоскость и есть плоскость то есть плоскость проходит через вершины и
б) Найдём отношение
Пусть
По условию тогда

Из треугольника

Кроме того
Из треугольника

Тогда
Итак,
Ответ:

Грани и тетраэдра являются правильными треугольниками со стороной и перпендикулярны друг другу. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём
а)  Докажите, что плоскость перпендикулярна ребру
б)  Найдите длину отрезка пересечения грани и плоскости

а) Пусть (см. главный рис.)
Проведем (рис. 1) через точку прямую, параллельную пересекающую в точке
значит и
А так как по условию, то
Далее, значит и тогда
— равнобедренный,
В То есть
Заметим,
Но и (рис. 2) если - середина
Тогда а так как то и
— линия пересечения перпендикулярных плоскостей, значит, по свойству перпендикулярных плоскостей, Откуда
Из и
б) Пусть Найдём длину

Пусть (рис. 3)

и

Пусть
А так как то и то есть

Ответ:

В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат Плоскость пересекает рёбра и в точках и соответственно, причём а точки и — середины рёбер и
а) Докажите, что четырёхугольник является трапецией, длины оснований которой относятся как
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями и равен площадь сечения пирамиды плоскостью равна а площадь основания пирамиды равна

а) будучи средней линией параллельна а значит и
Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, пересечет по прямой, параллельной то есть и — трапеция.
Заметим, а Таким образом,
б) По условию,
По условию, — высота трапеции
Пусть проецируется в Пусть
Пусть
Пусть
Заметим, по некоторой прямой параллельной (по свойству прямой, параллельной плоскости).
Очевидно,
А так как — проекция на то и (по теореме о 3-х перпендикулярах).
Таким образом,
Заметим, и т.е. — высота трапеции
Пусть

А так как — середина то

Тогда
Пусть заметим, — средняя линия
В прямоугольном
Стало быть,
Ответ:

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник На рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что четырёхугольник — трапеция с основаниями и Известно, что
а) Докажите, что плоскость пересекает рёбра и в их серединах.
б) Найдите высоту пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой площадь основания равна а площадь сечения

а) Если допустить, что то получим (действительно,
Противоречие, ведь и имеют общую точку.
Итак,

Но тогда т.е. — средняя линия
Таким образом, пересекает и в их серединах.
б) Заметим, так как — проецируется в точку пересечения диагоналей то И трапеция очевидно — равнобедренная.
Пусть — середины Пусть
По условию,
По условию

В то же время, (по теореме косинусов из
Тогда

Откуда
Наконец,

Ответ:

В правильной треугольной призме точка является серединой ребра а точка — серединой ребра Плоскость параллельная прямым и проходит через середину отрезка
а) Докажите, что плоскость проходит через середину отрезка
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если все рёбра этой призмы равны

а) Пусть — середина Отметим
Тогда
Пусть — середина Отметим Тогда
Плоскость и есть так как проходит через середину и содержит в себе прямые, параллельные и
Пусть
— сечение призмы плоскостью Покажем, что — середина
Пусть Тогда

Тогда пусть Значит,
Стало быть, и
Наконец, (по катету и острому углу), а значит то есть — середина
б)

Ответ:

Основанием прямой призмы является параллелограмм. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём а — равнобедренная трапеция с основаниями и
а) Докажите, что — середина
б) Найдите площадь трапеции если объём призмы равен а её высота равна

а) Пусть тогда
Пусть
Тогда
А так как то понимаем, что — середина
б)

Пусть проецируется в точку плоскости а — в точку
Пусть (по теореме о 3-х перпендикулярах и

Пусть

(см. рис.);

а

Таким образом,
При этом
Откуда
Из

Наконец,

Ответ:

На рёбрах и тетраэдра отмечены точки и соответственно, причём Четырёхугольник — квадрат.
а) Докажите, что
б) Найдите объём пирамиды если объём тетраэдра равен

В основании пирамиды лежит параллелограмм На боковых рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите объём пирамиды если площадь параллелограмма равна а высота пирамиды равна

Ответ: