Угол между скрещивающимися прямыми

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и
Длины боковых рёбер пирамиды
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми и

а) Рассмотрим треугольник По условию Проверим теорему Пифагора:

Так как по обратной теореме Пифагора  — прямоугольный,

Рассмотрим треугольник По условию Проверим теорему Пифагора:

Так как по обратной теореме Пифагора— прямоугольный,

Так как а и  — пересекающиеся прямые в плоскости то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая лежит в плоскости Следовательно,

б) Пусть диагонали основания пересекаются в точке
Пусть —середина Тогда

По теореме косинусов

Тогда
Ответ: б)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и а на окружности другого основания — точки и причем  — образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите угол между прямыми и если

а) Пусть точка проецируется в точку нижнего основания.
Раз пересекает ось цилиндра (назовем ее пусть в некоторой точке то проекция этой точки  — точка То есть  — диаметр нижнего основания.
Угол треугольника  — прямой, так как опирается на диаметр
По теореме о трех перпендикулярах так как проекция наклонной на плоскость нижнего основания перпендикулярна
Что и требовалось доказать.
б) Так как то угол между прямыми и  — это угол между прямыми и То есть будем искать угол
Имеем

Из треугольника

Ответ: