Четырёхугольники

Дан прямоугольник . Известно, что Точка — середина его стороны
На стороне отмечена точка Известно, что Точка — середина отрезка
а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.
б) Найдите длину если известно, что

а) Пусть тогда
Пусть пересекается с в точке
Пусть пересекается с в точке Покажем, что
так как откуда то есть
по первому признаку (), откуда
Но ведь согласно условию и значит то есть и лежат на одной прямой, раз принадлежала прямой
б) Согласно условию теперь
Заметим, по свойству медианы, проведённой к гипотенузе.

При этом
т. Косинусов:

Ответ:

В параллелограмме со сторонами и углом равным проведены биссектрисы всех четырёх углов.
а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.
б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

а) Пусть биссектрисы соседних углов и пересекаются в точке

Тогда из треугольника

Аналогично с биссектрисы соседних углов и и и образуют при пересечении прямой угол.
Таким образом, четырехугольник образованный биссектрисами углов, – прямоугольник.
б) Так как биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, то (см. рис.). С учетом получаем, что и (см. рис).
Наблюдаем восемь равных треугольников (см.рис), обозначим их площадь

Итак,
Ответ:

Дан ромб Прямая, перпендикулярная стороне пересекает его диагональ в точке диагональ  — в точке причем
а) Докажите, что
б) Найдите площадь ромба, если

а) Пусть
По условию, пусть тогда (в частности,
По условию, пусть тогда (в частности,
Дополнительное построение:

По свойству о пропорциональных отрезках

А так как то и

Откуда
Таким образом,
Из

б) Так как то

Тогда из

откуда

откуда

Наконец,

Ответ:

Стороны и квадрата касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку пересекает сторону в точке Найдите длину отрезка если сторона квадрата равна

а) Пусть  — центр окружности
Пусть
касается в точке  — в точке
Пусть тогда

Тогда и
Итак,
б)  — биссектриса

(из

Тогда
Ответ:

Дана равнобедренная трапеция с основаниями и Биссектрисы углов и пересекаются в точке Точки и отмечены на боковых сторонах и соответственно. Известно, что и
а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.
б) Найдите если известно, что и

а) Пусть
Тогда
А так как то и
Отсюда заключаем, что и  — равные внутренние накрест лежащие при и секущей

тогда и
и аналогично выше сказанному а значит
Из и следует, что и  — одна прямая. То есть точки и лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
б) Дополнительное построение:
Заметим,
А так как то

Тогда

Ответ:

Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону пополам. Отрезок перпендикулярен отрезку и делит сторону в отношении
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка если площадь трапеции равна

а) Пусть
Пусть
Заметим, по условию, а тогда  — р/б, и
 — биссектриса и высота
(по 2-му признаку)
А так как  — р/б, то  — не только медиана, но и биссектриса.
Из равенства и вытекает и откуда
В р/б  — биссектриса.
Значит, (или, что-то же самое —
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
откуда
По условию
Наконец, как медиана, проведённая к гипотенузе,

Ответ:

Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции Окружность с центром касается сторон и
Известно, что
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
б) Найдите

а) Точка равноудалена от сторон Аналогично точка равноудалена от сторон Тогда прямая равноудалена от то есть
б) Пусть и  — точки касания первой и второй окружностей со сторонами и соответственно.
Пусть

тогда

Пусть
Имеем

Стало быть,
Итак, откуда
Ответ:

В выпуклом четырёхугольнике известны стороны и диагональ:

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите

a) По теореме косинусов для треугольника

По теореме косинусов для треугольника

Итак, поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна то около четырехугольника можно описать окружность.
б) Коль около четырехугольника можно описать окружность, то и

По теореме косинусов для треугольника

По теореме косинусов для треугольника

Тогда из имеем:

Стало быть,

Ответ:

Точка  — середина боковой стороны трапеции На стороне отмечена точка так, что Прямые пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите отношение оснований трапеции и если площадь треугольника составляет площади трапеции

а) Пусть  — точка пересечения
Пусть
Пусть коэффициент подобия
Тогда
С учетом того, что  — середина имеем:
Треугольники подобны по двум углам (угол  — общий, углы равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей
Тогда

Замечаем, что Действительно,

Учитывая, что у треугольников общий угол и получаем, что подобен Откуда
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Так как то и
Что и требовалось доказать.
б) Если  — площадь треугольника то в силу подобия

 — из пункта (a)).

Тогда
Согласно условию
Так как то, используя данные пункта (а), получаем:

Далее,

Итак,
Ответ:
Аналогичную задачу можно посмотреть здесь.

Точка  — середина боковой стороны трапеции На стороне отмечена точка так, что Прямые пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите отношение оснований трапеции и если площадь треугольника составляет площади трапеции

а) Пусть  — точка пересечения
Пусть
Пусть коэффициент подобия  —
Тогда
С учетом того, что  — середина имеем:
Треугольники подобны по двум углам (угол  — общий, углы равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей
Тогда

Замечаем, что Действительно,

Учитывая, что у треугольников общий угол и получаем, что подобен Откуда
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Так как то и
Что и требовалось доказать.
б) Если  — площадь треугольника то в силу подобия

 — из пункта (a)).

Тогда
Согласно условию,
Так как то, используя данные пункта (а), получаем:

Далее,

Итак,
Ответ:
Аналогичную задачу можно посмотреть здесь.

В прямоугольнике на стороне отмечена точка так, что
а) Докажите, что делит площадь треугольника в отношении
б) Пусть  — точка пересечения и  — точка пересечения и Найдите длину отрезка если

a) Треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия —
Тогда Пусть
Пусть  — точка пересечения диагоналей.
Обозначим за
Пусть
Заметим, что и То есть
Но тогда откуда Итак,
А поскольку то
искомое отношение есть:

б) Пусть При этом

Из треугольника по теореме косинусов:

Ответ:

Дан квадрат На сторонах и внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники и
а) Докажите, что точка лежит на прямой
б) Найдите площадь четырехугольника если известно, что

a) Треугольник  — равносторонний, Тогда
Треугольник  — равносторонний, Тогда
При этом треугольник равнобедренный, поэтому
Треугольник также равнобедренный, потому
Итак, но то есть лежит на прямой
б)

Ответ: