Окружности и системы окружностей

Точка лежит на отрезке Прямая, проходящая через точку касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника если и

а) Заметим, углы опираются на диаметр, а значит являются прямыми. Стало быть, углы при прямых и секущей равны. А значит, по признаку параллельности прямых, и параллельны.
б) Пусть  — середина Заметим, перпендикулярен как радиус, проведенный к касательной.
Треугольники подобны по двум углам (угол  — общий и углы  — прямые).
С учетом условия и коэффициент подобия треугольников —
Пусть
Из треугольника по теореме Пифагора:

Заметим, треугольники равновелики.
Действительно, с учетом параллельности прямых и имеем:

Итак,

Ответ:

Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно, а отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите длину хорды если a радиус меньшей окружности равен

а) Пусть  — центр большей окружности.
Угол  — прямой, так как опирается на диаметр
 — радиус, проведенный перпендикулярно хорде а значит  — середина Тогда  — не только высота и медиана в треугольнике но и биссектриса.
Пусть

При этом

(опираются на одну дугу).

Далее,

(пара «центральный-вписанный»);

Имеем: значит прямые параллельны.
Но тогда и
А значит, и откуда

или

б) Пусть  — центр малой окружности.
Пусть  — середина
По условию значит
Пусть тогда
Пусть
Очевидно,
Из треугольника

Наконец, из треугольника имеем:

Тогда

Ответ:
Полезно посмотреть аналог.

Две окружности касаются внутренним образом в точке причем меньшая проходит через центр большей. Хода большей окружности касается меньшей в точке Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Пусть  — точка пересечения отрезков и Найдите если радиус большей окружности равен а

Рассмотрим случай, когда точки и лежат по одну сторону от прямой Рассуждения во втором случае схожи с рассуждениями в первом случае.
a) Пусть  — центры малой и большой окружностей соответственно.
Углы (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет
Аналогично, углы (вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет
Итак, углы одновременно большие (или меньшие) угла на равны между собой. А поскольку указанные равные углы — соответственные при прямых и секущей то (по признаку параллельности прямых).
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, поскольку  — прямой (опирается на диаметр малой окружности), то в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, то есть  — середина
Таким образом,  — средняя линия треугольника откуда
Пусть  — середина Тогда  — не только медиана в равнобедренном треугольнике но и высота.
По теореме Пифагора из треугольника имеем
 — прямоугольная трапеция. Проведем в ней из точки перпендикуляр к основанию
Из треугольника

Из треугольника по теореме косинусов:

Наконец,
Ответ:
Полезно посмотреть аналог.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной в точке и пересекает вторую сторону в точках и (точка лежит между и В окружности проведён диаметр
а) Докажите, что отрезок вдвое больше отрезка
б) Найдите расстояние от точки до прямой если и

а) так как опирается на диаметр
Пусть  — середина В равнобедренном треугольнике как радиусы) медиана  — высота.
как радиус, проведенный к касательной.
Таким образом,  — прямоугольник и
При этом  — средняя линия треугольника то есть
Итак,
б) Пусть  — искомое расстояние. Пусть
Из треугольника

 — расстояние от точки до

По свойству касательной и секущей:

Заметим, треугольник  — равнобедренный, значит высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.
Длина равна расстоянию от до

Ответ: